11-6函数项级数的一致收敛性

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一、问题的提出问题:有 限个连 续函数的和仍是连续函数，有 限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的 导数及积分的和.对于无限个函数的和是否具 有这些性质呢？对于幂函数是这样的，那么对 于一般的函数项级数是否如此？

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例1 考察函数项级数x (x x) (x x ) (x x2 3 2 n n 1

)

和函数的连续性. 解 因为该级数每一项都在[0,1]是连续的，n

且 sn ( x ) x ,

得和函数：0 x 1, x 1.

0, s ( x ) lim s n ( x ) n 1,和函数 s ( x ) 在 x 1 处间断 .

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结论 函 数 项 级 数 的 每 一 项 在 [ a , b ] 上 连 续 ， 并 且级 数 在 [a , b ] 上 收 敛 ， 其 和 函 数 不 一 定 在[a , b ] 上 收敛 .同样函 数项 级数的 每一 项的 导数及积 分所 成的 级数的和 也不 一定等 于他 们和 函数的导 数及 积分.

问题

对什么级数，能从每一项的连续性得出和

函数的连续性，从每一项的导数及积分所成的级 数之和得出原来级数的和函数的导数及积分呢？

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二、函数项级数的一致收敛性定义设 有 函 数 项 级 数 un ( x ) . 如 果 对 于 任 意n 1

给定的正数 ,都存在着一个只依赖于 的自 然 数 N , 使 得 当 n N 时 ， 对 区 间I 上 的 一 切

x,都有不等式 rn ( x ) s ( x ) s n ( x ) 成 立 ， 则 成 函 数 项 级 数 u n ( x ) 在 区 间I 上 一 致n 1

收 敛 于 和 s ( x ) , 也 称 函 数 序 列 s n ( x ) 在 区 间I 一 致 收 敛 于 s( x ) .

上

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几何解释:只 要 n 充 分 大 ( n N ) ,在 区 间 I 上 所 有 曲 线 y sn ( x )将 位 于 曲 线

y s( x ) 与 y s( x ) 之 间 .

y

y s( x ) y s( x ) y sn ( x) y s( x )

o

I

x

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例2 研 究 级 数1 1 1 1 x 1 x 2 x 1 x n x n 1 1在 区 间 [ 0 , ) 上 的 一 致 收 敛 性 .

解

sn ( x )

1 x n

,

s ( x ) lim s n ( x ) limn

1 x n 1 x n

n

0

( 0 x )

余项的绝对值rn s ( x ) s n ( x ) 1 n ( 0 x )

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对于任给 0,取自然数N

1

,

则 当 n N 时 ， 对 于 区 间 [ 0 , ] 上 的 一 切 x ,

有

rn ( x ) ,

根据定义， 所 给 级 数 在 区 间 [ 0 , ] 上 一 致 收 敛 于 s ( x ) 0 .

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例3

研究例1中的级数2 3 2 n n 1

x (x x) (x x ) (x x

)

在区间( 0 , 1]内的一致收敛性.

解 该 级 数 在 区 间 (0 ,1 )内 处 处 收 敛 于 和 s ( x ) 0 ,但并不一致收敛.

对于任意一个自然数 n , 取 x n sn ( x n ) x n n

1n

,于是

1

2

2

, 1 2 .

但 s( xn ) 0,

从而 rn ( x n ) s ( x n ) s n ( x n )

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只要取

1 2

, 不 论 n 多 么 大 ， 在 (0 ,1 )总 存 在

点 x n , 使得 rn ( x n ) ,

因此级数在( 0, 1 )内不一致连续.n 虽然函数序列 s n ( x ) x 在( 0, 1 )内处处 说明:

收敛于 s ( x ) 0 , 但 s n ( x ) 在( 0, 1 )内各点处收敛于零的“快慢”程度是不一致的. 从下图可以看出:

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y

y sn ( x ) xn 1

n

(1,1)

n 2

n 4

n 10 n 30

o注意：对于任意正数 一致收敛.

1

x[0, r ] 上

r 1,这级数在

小结

一致收敛性与所讨论的区间有关.

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一致收敛性简便的判别法：

定理

(魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法) n 1

如 果 函 数 项 级 数 u n ( x ) 在 区 间I 上 满 足 条 件 :

(1) (2)

un ( x ) an

( n 1,2 ,3 ) ;

正 项 级 数 an 收 敛 ,n 1

则 函 数 项 级 数 u n ( x ) 在 区 间I 上 一 致 收 敛 .n 1

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证

由 条 件 (2 ), 对 任 意 给 定 的 0 , 根 据 柯 西

审敛原理存在自然数N ,使得当 n N 时，对 于任意的自然数 p 都有

a n 1 a n 2 a n p

2

.

由 条 件 (1 ), 对 任 何 x I , 都 有

u n 1 ( x ) u n 2 ( x ) u n p ( x ) u n 1 ( x ) u n 2 ( x ) u n p ( x ) a n 1 a n 2 a n p , 2

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令 p ,则 由 上 式 得

rn ( x )

2

.

因 此 函 数 项 级 数 un ( x ) 在 区 间 I 上 一 致 收 敛 .n 1

例4

证明级数sin x 12

sin 2 x 22

2

sin n x n2

2

在 ( , ) 上 一 致 收 敛 .

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证

在 ( , ) 内

sin n x n2

2

1 n2

1 n2

( n 1,2 ,3 , )

级数

收敛，

n 1

由魏尔斯特拉斯判别法，

所 给 级 数 在 ( , ) 内 一 致 收 敛 .

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三、一致收敛级数的基本性质定理1如 果 级 数 un ( x ) 的 各 项 un ( x ) 在 区 间n 1

[ a , b ] 上 都 连 续 , 且 un ( x ) 在 区 间 [ a , b ] 上 一n 1

致 收 敛 于 s( x ) , 则 s( x ) 在 [ a , b ] 上 也 连 续 .

证

设 x 0 , x 为 a , b 上 任 意 点 . 由

s ( x ) s n ( x ) rn ( x ), s ( x 0 ) s n ( x 0 ) rn ( x 0 )

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s ( x ) s ( x 0 ) s n ( x ) s n ( x 0 ) rn ( x ) rn ( x 0 )

s n ( x ) s n ( x 0 ) rn ( x ) rn ( x 0 ) 级 数 u n ( x ) 一 致 收 敛 于s ( x ) ,n 1

(1)

对 0 , 必 自 然 数 N N ( ) ,使 得 当 n N 时 , 对 a , b 上 的 一 切 x 都 有

rn ( x )

3

(2)

同样有 rn ( x 0 )

3

.

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s n ( x ) 是 有 限 项 连 续 函 数 之 和 ，

故 s n ( x ) ( n N )在 点 x 0 连 续 ，

0 当 x

x0 时 总 有 sn ( x ) sn ( x0 )

3

(3)

由(1)、(2)、(3)可见, 对 任 给 0 , 必 有 0 ,当 x x0 时 ， 有

s( x ) s( x0 ) .

所 以 s( x ) 在 点 x0 而 x0 在 [ a , b ]上 是 任 意 处连续，的 ， 因 此 s ( x ) 在 [ a , b ]上 连 续 .

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定理2

如 果 级 数 un ( x ) 的 各 项 un ( x ) 在 区 间n 1

[ a , b ] 上 都 连 续 , 且 un ( x ) 在 区 间 [ a , b ] 上 一n 1

致 收 敛 于 s( x ) , 则 s( x ) 在 [ a , b ] 上 可 以 逐 项 积 分 , 即

x

s ( x ) dxx0

x x0

u 1 ( x ) dx

x x0

u 2 ( x ) dx

x x0

u n ( x ) dx (4)

其 中 a x0 x b , 并 且 上 式 右 端 的 级 数 在 [ a,b ]上 也 一 致 收 敛 .

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证

级 数 u n ( x ) 在 [ a , b ]一 致 收 敛 于 s ( x ) ,n 1

由 定 理 1 , s ( x ) , rn ( x ) 都 在 [ a , b ]上 连 续 ， 所以积分

x x0

s ( x ) dx , rn ( x ) dx 存 在 ,从 而 有 x0

x

x x0

s ( x ) dx

x x0

s n ( x ) dx

x x0

rn ( x ) dx

x x0

rn ( x ) dx .必 有

又 由 级 数 的 一 致 收 敛 性 ,对 任 给 正 数

N N ( ) 使 得 当 n N 时 ,对 [ a , b ]上 的 一 切 x ,都有

rn ( x )

b a

.

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于是，当n N 时有

x x0

s ( x ) dx

x x0

s n ( x ) dx

x x0

rn ( x ) dx

b qx

( x x0 ) .

根据极限定义，有n

x0

s ( x ) dx lim

n

x x0

s n ( x ) dx lim

i 1

n

x x0

u n ( x ) dx

即

x x0

s ( x ) dx

i 1

x x0

u i ( x ) dx

由 于 N 只 依 赖 于 而 于 x0 , x 无 关 ，所以级数

i 1

x x0

u i ( x ) dx 在 [ a , b ]上 一 致 收 敛 .