简单超静定问题

17内容 Chap.6 简单超静定问题 1. 超静定问题及其解法 2.拉压超静定问题 3.扭转超静定问题 4.简单超静定梁 要求 了解超静定问题及其解法

§6.1 超静定问题及其解法一. 静定超静定概念 1. 静定问题——仅用静力平衡方程就能求出 全部未知力，这类问题称为静定问题. statically determinate problem 特点：未知力的数目等于静力学平衡方程的数目。 2. 超静定问题——仅用静力平衡方程不能求 出全部未知力。又称静不定问题。 statically indeterminate problem 特点：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。

B

C

1 ααA

2

F y FN1 α αA

未知力数目： 2 ( FN1 , FN2 ) 静力平衡方程数目：2 ( ∑Fx = 0, ∑Fy = 0 ) 静定结构， --------静定问题 仅用静力平衡方程便能求解 全部未知量。

FN2 x

F

FN1

FN2 FN3

FN4

F

F

未知力：4个 平衡方程：2个 超静定结构，超静定问题。 需要补充 2 个方程。

3. 超静定次数 degree of statical indeterminancy 未知力数目与平衡方程数目之差。 也是需要补充的方程数目。

FN1

FN2 F N3

FN4

F

F

未知力：4个 平衡方程：2个 超静定次数 = 4-2 = 2 此结构可称为2次超静定结构

4. 多余约束 redundant restraint ------结构保持静定所需约束之外的约束。 即没有这部分约束结构也能保持一定的几 何形状(静定)。BC D B D

B

C

A

A

A

F

F

F

5. 多余未知力force

redundant unknown

多余约束提供的约束力。 超静定次数 = 多余未知力数目判断超静定次数：

方法1: 多余未知力数目方法2:未知力数目-平衡方程数目

二. 超静定问题的解法： 1. 判断超静定次数： 未知力数目-平衡方程数目 2. 列平衡方程：静力平衡关系 3. 列几何方程：反映各杆变形之间的 关系，需要具体问题具体分析。 4. 列物理方程：变形与力的关系。 5. 列补充方程：物理方程代入几何方 程即得。

三. 相当系统

equivalent system

去掉多余约束后的静定结构。BA

C

D

BA

D

BA

C

F

F

F

相当系统的作法 解除多余约束，代之以多余未知力. 相当系统的特点 静定； 有多余未知外力。

四. 几何方程的建立——变形比较 相当系统多余未知力作用处的位移， 等于原超静定结构多余约束处的实际位移。 满足上述条件后，相当系统的受力和 变形就与原超静定结构完全相同，相当系 统的解就是原超静定结构的解，也就是说， 解题可以在相当系统上进行。

§6.2

拉压超静定问题E2 A2 E3 A3 , l1 , l2 l3

例题1 已知：E A , 1 1

求：各杆轴力

解：1.判断：一次静不定。BE2A2

CE1A1

D FN2

yFN1

2 1 l 3 E3A3 =E2A2 l2 1 l = l 3 2A

A

FN3

x F

F

yFN1

FN2

A

FN3

x F

2.列平衡方程

F Fy

x

0, 0,

FN 3 sin FN 2

sin 0

FN 2 FN 3

⑴

FN1 FN 2 cos FN 3 cos F 0

⑵

BE2A2

CEA

D

1 1 2 1 l 3 E3A3 =E2A2 l2 1 l = l 3 2

3.列几何方程：

l3

A

l2 l1

l2 l3 l1cos

A´

F

4.列物理方程FN1l1 l1 , E1 A1

l2 l3 l1cos FN 2l2 l2 l3 E2 A2

5. 列补充方程 将物理方程代入几何方程得：

FN 2l 2 FN 3l 3 FN1l1 cos E 2 A2 E 3 A3 E1 A1

⑶

FN 2 FN 3

⑴⑵

FN1 FN 2 cos FN 3 cos F 0FN 2l2 FN 3l3 FN1l1 cos E2 A2 E3 A3 E1 A1

⑶

B

C

D

联解⑴,⑵,⑶式，得F FN1 2 E2 A2l1 1 cos2 E 1A1l2

2 1 3 A

F

FN 2 FN 3

F E1 A1l2 2 cos E2 A2l1 cos

超静定结构的特点 ———装配应力B D B

C

D

2 1 3 A A

静定结构 ——无装配应力

超静定结构 ！ ——?

B

C

D

1 2 3

α α⊿l1 A' ⊿l2 A

l

已知：三杆EA相同，1杆 制造误差δ,求装配内力 解题思路：因制造误差， 装配时各杆必须变形， 因此产生装配内力。 一次静不定问题。几何方程： ⊿l1+ ⊿l2 / cosα = δ 物理方程 ？胡克定律！

δ

平衡方程：内力不可任意假设。

FN1BC D

FN2

正确FN3

1 2 3

A

α α⊿l1 A' ⊿l2 A

lFN2

FN1

δ A

FN3

不正确

1杆伸长，内力应为拉力； 2、3杆缩短 , 内力应为压力。

装配应力是不容忽视的，如： δ/l=0.001, E=200GPa,α=30° —— σ1 = 113 MPa , σ2 = σ3 = -65.2 MPa

超静定结构的特点(3) ———温度应力B D B

C

D

T C

T C A

A

静定结构： 无温度内力

超静定结构： 有温度内力

思路：A

l

温度变化引起杆的长度变化， 多余约束限制了这个变化， 引起温度内力。 几何方程： ⊿l = ⊿lt+ ⊿lF = 0 物理方程：

B

⊿lt =αl ⊿t ⊿lF =FNl / EA