2015-2016-1线性代数A卷答案定稿(60份)(4)

20.设三阶实对称矩阵A有三个特征值2,2，-2，且(1,0, 1)T是A求A.

x1 T解设非零向量x x2 为属于2的特征向量，则向量x与(1,0, 1)正交，从而

x 3

0 1 x1 0x2 x3 0.其基础解系为 1 , 0 .-----------------------------------5分

0 1

0 1 1 2 令P 1 0 0 ，则P 1AP 2 .------------------------------7分 0 1 1 2

2 0 1 1 2 0 1 0 0 0 2 1 所以A P 2 P 1 0 0 2 1/2 0 1/2 = 0 2 0 .--10分 2 0 1 1 2 1/2 0 1/2 2 0 0

五、证明题（每小题5分，共10分）

21.设A,B为n阶方阵，且ABA B 1,证明R(E AB) R(E AB) n.证明因为ABA B 1，所以(E AB)(E AB) E AB AB ABAB 0，R(E AB) R(E AB) n--------------------------------------------3分又因为R(E AB) R(E AB) R((E AB) (E AB)) R(2E) n因此R(E AB) R(E AB) n-----------------------------------------5分22.已知矩阵A是正交矩阵，证明A的伴随矩阵A*必是正交矩阵.证明因为A是正交矩阵，即AAT ATA E，

所以A 1 AT且|A||AT| |A|2 1-----------------------------------------------------3分又因为AA* A*A |A|E，所以A* |A|A 1 |A|AT

因此A*TA* (|A|AT)T(|A|AT) |A|2AAT |A|2E E

所以A*是正交矩阵.---------------------------------------------------------------------5分