2009年全国高中数学联赛模拟试题答案(3)

2009年全国高中数学联赛模拟试题答案

周期性变化，周期为６，因为2008 6＝334 4，∴S2008＝８．

x2y2

x 8 010. 已知椭圆点P在直线l

： 1的左右焦点分别为F1与F2，

164

PF1

上. 当 F1PF2取最大值时，比1.

PF

2

【解】 由平面几何知，要使 F1PF2最大，则过F1,F2，P三点的圆必定和直线l相切于P点。设直线l交x轴于

A( 8 ，则 APF1 AF2P，即 APF1 AF2P，

即

PF1PF2

APAF2

（1） AP AF1 AF2 （2）

2

而F1(

，F2，

A( 8 ，从而有AF1

8，AF2 8 （1），（2

）得

PF1PF2

1。

c(当x 0时)，

f(x) 2

x ax b(当x 0时)，11. 设a、b、c为常数，函数 g(x)为一次函数，若

f(0)＝f(2)，f(1)＝1，且关于x的方程f(x)＝g(x)的根是x=1，x=3，x=-2，则c的值

123

为 ．

解：答案：-5．由f(0)＝f(2)，f(1)＝1求得a=2，b=2，又因为方程f(x)＝g(x)的根是x1=1，x2=3，x3=-2，∴直线与抛物线交于（1，1）和（3，5）两点，故g(x)=2x-1， ∴另一交点为（-2，-5），∴c=-5．

S sin2 1 sin2 2 sin2 n0≤ i≤ 1 2 n n N*

12. 设,,.则的

最大值为 。 解： 9

4

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

13. 46个国家派代表参加亚洲数学竞赛，比赛共4题，结果统计如下：第一题对235人；一、二都对59人；一、三都对29人；一、四都对15人。四题全对的3人，有一人只错了第4题。求证：存在一个国家，这个国家派出的选手中至少有4人恰好只做对了第一题。 [解]设集合A={全部选手}，|A1 A3| 29,|A1 A4| 15,|A1 A2 A3 A4| 3。

|A1 A2 A3| | Ai| 3(1人只错第4题),|A1 A2 A4| 3,|A1 A3 A4| 3

i 4

4

|A1 A2 A3| |A1 A2 A4| |A1 A3 A4| | Ai| 6

i 4

4