第二章 控制系统的数学模型

第二章 控制系统的数学模型§2-1 控制系统的时域数学模型

§2-2 控制系统的复域数学模型 §2-3 控制系统的结构图与信号流图 §2-4 数学模型的实验测定法

引言一、为什么要建模? 工程的最终目的是建造实际的物理系统以完成某些 规定的任务,而用控制理论分析、设计一个自动控制系统, 首先需要建立实际物理系统的数学模型。 实际系统 简化系统的假设 物理模型 数学描述 数学模型

理想化的简化假设的目的是为了便于分析设计,但这将 影响模型的精度,所以必须在模型的简单性及分析结果的精 确性之间折衷。 建模过程实质上是对控制系统,首先是对被控对象调查 研究的过程,只有通过对系统的仔细调研忽略掉一些非本质 因素，才能建立起既简单又能反映实际物理过程的模型。

二、系统建模的两种基本方法 ① 机理分析法 ② 实验辩识法 飞升实验法 频率特性测试法 参数辩识 三、线性定常系统的数学模型 ① 外部描述(I/O描述) 微分方程 传递函数 频率特性 ② 内部描述 状态方程 多项式矩阵

§2-1 控制系统的时域数学模型一、线性元件的微分方程例2-1:RLC无源网络 解：由基尔霍夫定律，列电压 方程，可得:

L

R

ui (t )

i (t )

C

uo (t )

di (t ) 1 L i (t )dt Ri (t ) ui (t ) dt C u (t ) 1 i (t )dt o C 消去中间变量，可得:

dq i= dt q = cuc

d 2uo (t ) duo (t ) LC RC uo (t ) ui (t ) 2 dt dt

例2-2:机械旋转系统 解：设圆柱体的质量分布均匀，质心位 于旋转轴线上，则其运动方程为：

d2 J 2 θ = T = T -T f -Ts dtT f = fω = f 式中：

TTs k

d θ,Ts = kθ dt f :粘性摩擦系数，k :弹性扭转变形系数。

J

T

整理得：

d2 d J θ+ f θ + kθ = T 2 dt dt

d Tf f dt

例2-3:带阻尼的弹簧质量系统解：由力平衡方程，可得：

K

f

d 2 x(t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt

mF (t ) x(t )

前述三个例子中，表征RLC电路系统、机械旋转系统、 弹簧阻尼系统的三个微分方程，虽然有着不同的物理含义， 却有着相似的形式： d 2uo (t ) duo (t ) LC RC uo (t ) ui (t ) 2 dt dt

d2 d J θ+ f θ + kθ = T 2 dt dt d 2 x(t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt

定义： 把数学模型相同(有相同的运动形态)的各种物理系统称 为相似系统。在相似系统的数学模型中，作用相同(物理意 义不同)的变量称为相似变量， 如：

( L、J、m)、(q、 、x)、(u、T、F )相似系统的概念，使得一种物理系统研究的结论可以推 广到其相似系统中去。 利用相似系统的特点，可以进行模拟研究，即用一种比 较容易实现的系统(如电系统)模拟其他较难实

现的系统 —— 仿真。

例2-4:电枢控制直流电机 解：电枢回路电压平衡方程 由电磁感应定理，列反电势方程 ua Ea Ce m (t ) C e 反电势系数

ia

dia (t ) ua (t ) La Ra ia (t ) Ea dt

La Ra Ea

if

mSM

负 Jm 载 f m

由电磁转矩方程，得: M m (t ) Cm ia (t ) M m :电磁转矩， C m :转矩系数。 由转矩平衡方程，得: M c :外加负载。 d m (t ) Jm f m m (t ) M m (t ) M c (t ) J m :转动惯量。 dt f m :粘性摩擦系数。 消去中间变量 ia (t ) ,得: d 2 m d m dM c La J m 2 ( La f m Ra J m ) ( Ra f m CmCe ) m Cmua La Ra M c dt dt dt

若电枢电感 La 很小，可略去，则有：

d m Tm m K1ua K 2 M c dt Ra J m 其中： Tm —— 电动机机电时间常数 Ra f m CmCe Ra Cm ,K 2 —— 电动机传递系数 K1 Ra f m CmCe Ra f m CmCe若进一步假设电枢电阻 Ra 和转动惯量 J m 很小，可略去，则有

Ce m (t ) ua (t )

测速发电机

结论：同一种元件，在不同的场合、不同的系统中，其描述方程可以不同。

总结 —— 建立控制系统微分方程的基本步骤： ① 根据线性元件在系统中的作用，确定其输出量和输入量； ② 根据元件遵循的物理、化学规律，列写相应的微分方程；

③ 消去微分方程的中间变量； ④ 标准化微分方程：输入量相关的项，放在等式右边； 输出量相关的项放在等式左边。

二、控制系统微分方程的建立

R2

例2-5:速度控制系统的微分方程(P24) R1 u i 解：1) 列写各元件的微分方程 K1 R1 放大器 I :u1 K1 (ui ut ) ut R2 放大器Ⅰ K1 R1 du1 R u1 ) 放大器 II:u2 K 2 (

u1

dt R K 2 , RC R1 功率放大器 ：ua K3u2直流电机 ：

R1

u1

d m Tm m K m u a K c M c dt

C放大器 II

K2

u2

齿轮传动系统 ： m / i 测速发电机 ： ut Kt 2) 消去微分方程的中间变量,并整理。输入量相关的项， 放在等式右边；输出量相关的项放在等式左边。u a、 m 、 u t 得： u2 、 在上述各式中，消去u1、

dui d T 'm K 'g K g u i K 'c M c dt dt微分方程的一般形式：d n c(t ) d n 1c(t ) d m r (t ) d m 1r (t ) a0 a1 an c(t ) b0 b1 bm r (t ) n n 1 m m 1 dt dt dt dt

三、线性系统的特性线性系统满足线性特性，包括： ① 可和性：有限多个输入的总结果，等于每个输入单独作 f ( xi ) f ( xi ) 。 用的结果之和，即： 可和性也叫叠加原理。 ② 齐次性：一个输入乘以常数作用的结果，等于这个输入 作用的结果乘以常数，即： f ( x) f ( x)。 线性特性在系统分析中的意义：

复杂输入作用

下系统的特性，可以通过对简单输入信号作 用下的特性来分析得到。 系统输入信号幅值是不定的，不同幅值信号作用的特性， 可用一个标准幅值信号作用的特性来得到。

四、线性定常微分方程的解解线性定常微分方程的方法： 经典法(微积分方法)

拉氏变换法(Laplace) 计算机数值解法

拉氏变换的定义：设函数 f (t ) 满足： ① f (t )为实函数； ② 当 t 0 时， f (t ) = 0 ;③当 t 0 时，f (t ) 的积分 f (t )e-st dt 在 s 的某一域内收敛。0

则函数 f (t ) 的拉普拉斯变换存在，并定义为：

F (s) L[ f (t )] f (t )e st dt0

式中： s j ( , 均为实数); F ( s ) 称为函数 f (t ) 的拉普拉斯变换或象函数， f (t ) 称为 F ( s ) 的原函数； L 为拉氏变换的符号。 拉氏反变换：1 f (t ) L [ F ( s)] 2 j 1

j

j

F ( s)e st ds ,

t 0

其中： L 1 为拉氏反变换的符号。

常用拉氏变换函数：单位脉冲函数 单位阶跃函数 单位速度函数 幂函数 指数函数

(t )1(t )

11 s 1 s2

★ ★ ★

ttn

n! s n 11 s a

e

at

★

cos t三角函数

s2 2s s2 2

sin t

拉氏变换运算定理

线性定理 微分定理 积分定理 位移定理 延时定理 卷积定理 初值定理 终值定理

L[af1(t) bf2 (t)] aL [ f1(t)] bL [ f2 (t)]L[ df (t ) ] sF(s) f (0), f (0) f (t ) |t 0 dtt

F (s) f 1 (0) L[ f (t )dt] , 0 s s L[e at f (t)] F(s a)L[ f (t )] e s F(s)

f (0) f (t )dt |t 0 1 0

t

L[ f (t) * g(t)] F(s)G(s)t 0

lim f (t ) f (0 ) lim sF(s)s

lim f (t ) f ( ) limsF(s)t s 0

例2-6:例2-1的电路参数如图， uo (0) 0.1V i(0) 0.1A 在零时刻，开关拨到信号源 u i, 求此后电容电压的变化规律。 ui (t ) 1V C 1F 解：由例2-1其微分方程为：

L 1H

R 1

d 2uo (t ) duo (t ) LC RC uo (t ) ui (t ) 2 dt dt将参数代入，得：

o (t ) u o (t ) uo (t ) ui (t ) u对等式两边取拉氏变换，得：

( s 2 s 1)U o ( s) ( s 1)uo (0) u o (0) 1 / s

初始条件： uo (0) 0.1V,u o (0) i(0) / C 0.1

1 0.1( s 2) 2 整理后可得： U o ( s) 2 s(s s 1) s s 1拉氏反变换，得:

uo (t ) L 1 U o ( s) 1 1.15e 0.5t sin(0.866t 120 ) 0.2e外加输入的响应: 0.5t

sin(0.866t 30 )

1 1.15e 0.5t sin(0.866t 120 )

初始激励的响应: 0.2e 0.5t sin(0.866t 30 )

2 d y dy 例2-7:设有线性微分方程： 2 5 6 y 6 ,初始条件： dt dt

(0) y(0) y 解：方程两边拉氏变换得： 6 (0) s

Y ( s ) y (0) 6Y ( s) s 2Y ( s ) sy (0) y s 2 2 2s 12s 6 2s 12s 6 代入初始条件得：Y (s) 2s(s 5s 6) s(s 2)(s 3)1 4 5 用部分分式展开法求得： Y ( s ) s s 3 s 2

拉氏反变换得： y(t ) 1 4e 3t 5e 2t 稳态分量： y ( ) = 1

t 0

瞬态分量： 4e 3t 5e 2t

2s 2 12s 6 6 终值定理验证： lim y(t ) lim sY (s) 2 1 t s 0 (s 5s 6) 6

拉氏变换法解微分方程的步骤：① 对微分方程中的每一项取拉氏变换(要考虑初始条件), 得到一组包含拉氏算子 s 的代数方程； ② 由代数方程解出输出量的拉氏变换表达式。

③ 求输出量的拉氏反变换，即得到所求结果。