2.6 指数与指数函数

指数与指数函数

要点梳理1. 根式的概念根式的概念

忆一忆知识要点

符号表示

备注

如果xn=a,那么 x 叫做 a 的n次方根. n为奇数时,正数的奇 次方根是正数;负数的奇次 方根是负数. n为偶数时,正数的偶 次方根有两个且互为相反 数.n

n>1,且 n∈N*.

a

零的n次方根是零

n a (a 0) 负数没有偶次方根

要点梳理2. 两个重要公式

忆一忆知识要点

公式 (1) ( a ) a.n n

适用范围: ①当n为大于1的奇数时, a∈R.

②当n为大于1的偶数时, a≥0.公式 (2)n

a , n 2k 1, k N , a = | a |, n 2k , k N .

n

要点梳理3. 幂的有关概念 幂指数 正整数 指数

忆一忆知识要点

a a a a n

定义

条件

零指数 负整数 指数 正分数 指数 负分数 指数

a 10

n个a

n N ,a R

a 0n N ,a 0 m

a 1n a n

aa m n

m n

n

an

a>0,m,n N*,n>1a>0,m,n N*,n>1

1 m an

1 am

规定: 0的正分数指数幂为0, 0的负分数指数幂没有意义.

要点梳理

忆一忆知识要点

4.有理数指数幂的运算性质: (a>0, b>0, r, s Q )

(1) a a ar sr s

r srs

;r

(2) (a ) a ;

(3) (ab) a b .r r

5.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的性质： 时, 当x>0 当x<0时, a >1 y y>1. 0<y<1. 0< a <1 y(0,1)(0,1)

图象 y=1

y=1

o x o x 1.定义域： ( , ) 当x<0时, 性 0<y<1. (0, ) 当x>0时, 2. 值域： y>1. (0,1) ,即x= 0 时,y= 1 3.过点 质 4.在R上是 增函数 在R上是 减 函数

要点梳理y

忆一忆知识要点

6.第一象限中,指数函数底数与图象的关系y bx y ax

y cx y dx

o

x=1

x

0 b a 1 d c图象从下到上,底数逐渐变大.

题 型一21

指数式与根式的计算问题

【例 1】计算下列各式的值.

27 ) 3 + (0.002) 2 -10( 5-2)-1+( 2- 3)0; (1) ( 81 (2) -( 3-1)0- 9-4 5; 5+2

(a 2 0, b 0) . 1 1 27 ) 2 + ( 1 ) 1 -1- 10 +1 2 解: (1)原式= ( 27 32 10 (a b ) a b 1 2 3 + ( 500 ) 1-2- 5-2+1 解: (1)原式= ( 8 ) 3 27 ) + ( 1 ) 2 - 105-2 2 解: (1)原式= ( 8 +1 500 1 8 2 500 5-2 8 ) 2 + 500 1 -10( 5+2)+1 2 3 = ( 8 32 = ( 27 ) 3+ 500 2 1-10( 5+2)+1 8 = ( 27 ) + 500 2 -10( 5+2)+1 4 27 167 =4+10 5-10 5-20+1=-167. 9 . =94 +10 5-10 5-20+1=- 167 2 = 5-2-1- 5-2 2 (2)原式=99+10 5-10 5-20+1=-99 . (2)原式= 5-2-1- 5-2 (3)1 4 1 2 4 1 3 1 3

a 3b2 3 ab2

=( 5-2)-1-( 5-2)=-1. =( 5-2)-1-( 5-2)=-1.

(3)

ab1 4

3 23 1 2 4

ab 1 3

2 1 3

(a 3 b 2 a b ) aba b2 1 3 1 3

1 3

2 1 3 2

(a b ) a b

a b 探究提高

3 1 1 1 2 6 3

1 1 2 1 3 3

ab 1 .

根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为 指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用 什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结 果.但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有 分母又含有负指数.

变式训练 1计算下列各式： (1) 1.5 ( 7 )0 80.25 4 2 ( 3 2 3)6 ( 2 ) 3 ; 3 6 (2) 1 32

a 8a b2 3 3 2 3

4 3

1 3

a 2 ab 14b 1 1 1 1 1 2 ) 3 1 (23 ) 4 2 4 (2 3 3 2 )6 ( 2 ) 3 解: (1)原式= (

(1 2 3 b ) 3 a ( a 0, b 0) . a

3

2

3 1 4 4

3

(2 3 )=2+4×27=110.2 3

指数函数的图象及应用 xax 【例 2】(1)函数 y= (0<a<1)图象的大致形状是 ( D ) |x|题 型二

x ax,x>0 ax,x>0 a ,x>0 . 函数定义域为{x|x∈R, x≠0}, 且 y= xa= x x 函数定义域为{x|x∈R, x≠0}, 且 y= = |x| -a ,x<0 函数定义域为{x|x∈R, x≠0}, 且 y= |x| =-a ,x<0 |x| -ax,x<0

xax x xax

. .

当 x>0 时，所以函数在(0,+∞)上是减函数； 当 x>0 时，所以函数在(0,+∞)上是减函数； 当 x>0 时，所以函数在(0,+∞)上是减函数； 当 x<0 时，函数在(-∞,0)上是增函数， 当 x<0 时，函数在(-∞,0)上是增函数， 当 x<0 时，函数在(-∞,0)上是增函数，故选 D.

题 型二

指数函数的图象及应用

【例 2】 (2)若函数 y=ax+b-1 (a>0 且 a≠1)的图象经过第二、

0 a 1, b 0 三、四象限,则 a, b 的取值范围是__________________.(2)函数 y=a +b-1 的图象经过第二、三、四象限， 大致图象如图. 所以函数必为减函数. 所以函数必为减函数. 所以函数必为减函数. 故 0<a<1. 故 0<a<1. 故 0<a<1. 又当 x=0 时，y<0, 又当 x=0 时，y<0, 又当0 x=0 时，y<0, 即 a0 +b-1<0, ∴b<0. 即 a0+b-1<0, ∴b<0. 即 a +b-1<0, ∴b<0.x

题 型二x

指数函数的图象及应用

1 【例 2】(3)方程 2 =2-x 的解的个数是________.方程的解可看作函数y=2x和y=2-x的图象交点的横坐标,

分别作出这两个函数图象(如图).

由图象得只有一个交点， 因此该方程只有一个解.

探究提高(1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相 应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象. (2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应 的指数型函数图象数形结合求解.

变式训练 2

e +e (1)(2009 山东)函数 y= x -x的图象大致为( A ) e -e

x

-x

e e 0 x 0 e x e x e2 x 1 1 2 y x x e2 x 1 e2 x 1 e ex

x

函数 y 在(0, +∞)上恒大于1且单调递减. 又函数 y 是奇函数，故只有A正确.

变式训练 2

(2)k为何值时，方

程|3x-1|=k无解？有一解？有两解？ 解:函数y=|3x-1|的图象是由函数y= 3x的图象向下平移一个单位后，再把位 于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方

得到的，函数图象如图所示.①当k<0时，直线y=k与函数y=|3x-1|的图象无交点, 即方程无解； ②当k=0或k≥1时，直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有 唯一的交点，所以方程有一解； ③当0<k<1时，直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有两个 不同交点，所以方程有两解.

指数函数的性质及应用 题 型三 【例3】设a>0且a≠1,函数y=a2x+2ax-1在[-1, 1]上 的最大值为14,求a的值. x x解:令 t=a x (a>0 且 a≠1), 解:令 t=a (a>0 解:令 t=axx(a>0 且 且 a≠1), 解:令 t=a (a>0 且 a≠1), 2 a≠1), 则原函数化为 y=(t+1) 2-2 (t>0). 则原函数化为 y=(t+1) -2 (t>0). 则原函数化为 y=(t+1)22-2 (t>0). 则原函数化为 y=(t+1) -2 (t>0). ①当 0<a<1 时，x∈[-1,1],t=ax∈ [a, 1 ] , ①当 0<a<1 时，x∈[-1,1],t=ax[[a[a,]1 ] , ①当 0<a<1 时，x∈[-1,1],t=axx∈∈,,1 ]a, , ①当 0<a<1 时，x∈[-1,1],t=a ∈ a 1 a 此时 f(t)在 [a, 1 ] 上为增函数. 此时 f(t)在,[a,]1 ] 上为增函数. 此时 f(t)在 [[a,1 ]a上为增函数. 上为增函数. 此时 f(t)在 a 1 a

a a

a a 所以 f(t)max= f1 1 ) 1 1 21)2 2 =14. ( 1 ) ( 1 1)2 2 =14. 1 所以 max= 所以 f(t)f(t)max=((f () ((1( 1) 2 2 =14. 所以 f(t)max= ff )a a a a 1) 2 =14. a a aa 1 1)2 =16,所以 a=-1或 a=1. 所以1 1 21)2 =16,所以 a=-1或 a=1. 15 1 1(a 所以 ( 1) 2=16,所以 a=-1或 a=1. 3 所以 (( 1) =16,所以 a=- 或 a= . 3 所以 5 5 3 5 3 a a a1 1 又因为 a>0,所以 a= 1.. 1 又因为 a>0,所以 a=3 又因为 a>0,所以 a= .. 3 又因为 a>0,所以 a= 3 3

指数函数的性质及应用 题 型三 xx ②当 a>1 时，x∈[-1,1],t=a ∈ [ [ 1 aa] , a>1 时，x∈[-1,1],t=a ∈ 1 ] , ②当 a>1 时，x∈[-1,1],t=a x∈ [ 1, ,,a] , ②当 a a1 ②当 a>1 时，x∈[-1,1],t=ax∈ [ a , a] , 1 ,,a]]上是增函数. a 此时 f(t)在 [[1 , a] 上是增函数. f(t)在[ 1 a 上是增函数. 此时 此时 f(t)在 a 1 a 此时 f(t)在 [ a , a] 上是增函数. a 22 所以 f(t)max=f(a)=(a+1)-2=14, 所以 f(t) =f(a)=(a+1) -2=14, 所以 f(t)max=f(a)=(a+1) 2-2=14, 所以 f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14, max 解得 a=3(a=-5 舍去). 解得 a=3(a=-5 舍去). a=3(a=-5 舍去). 解得 解得 a=3(a=-5 舍去). 1 1 综上得 a= 1或 3. 综上得 a=3 或 3. a=1 或 3. 综上得 3 3 或 3. 综上得 a= 探究提高 3

指数函数问题一般要与其它函数复合.本题利用换元法将原

函数化为一元二次函数.结合二次函数的单

调性和指数函数的单调 性判断出原函数的单调性,从而获解.由于指数函数的单调性取决于 底数的大小,所以要注意对底数的分类讨论,避免漏解.

变式训练 3 (2011· 滨州二模)已知函数 y=4x-3×2x+3,当其值域为

[1,7]时，x 的取值范围是( A.[2,4] C.(0,1]∪[2,4] x 2xx

D)B.(-∞,0]

D.(-∞,0]∪[1,2] x x 3 ) 2 + 3∈[1, 7], 3 32 +3 ∈[1, 7], y=(2)x2)-3×2x+3= (2 x (23 ) +2) ∈[1, 7], -3×2 +3= (2 2 4 y=(2x )2-3×2x+3= (2 x 32 +3∈[1, 7], y=(2 24 4 4 2 2)x y=(2 x) 2-3×2x+3=

32)2 [ 1 , 25 ] . 25 ∴(2 x 3 ) [ 1[ 1 , ] . ] . (2 3 22 ,12525 ∴ ∴ (2 32 ) ∴ (2 2) [ 44 4] . 4 4, 4 2 2 5 4 14 1 5 x 33 5 1] 1 5 ∴2 -23 [ ,5 , [ [ ] , ] . ∴2xx- 3 [ 5 ,1 ]1 ] 1 ,[ 1 ., 5] . [ 5 ∴2 x-2 [ 2, 2 [ 2 , 2 . ] 22 2 2 2 2 2 ∴2 -2 2 2] 2 2 2 2x

∴2xx∈[-1, 1]∪[2, 4]. ∈[-1, 1]∪[2, 4]. ∴2 x x

∴2 ∈[-1, 1]∪[2, 4]. ∴2 ∈[-1, 1]∪[2, 4]. ∴x∈(-∞,0]∪[1, 2],故选 D. ∴x∈(-∞,0]∪[1, 2],故选 D. ∴x∈(-∞,0]∪[1, 2],故选 D.∴x∈(-∞,0]∪[1, 2],故选 D.

思想与方法方程思想及转化思想在求参数中的应用-2x+b (14 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值； (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立，求 k 的取值范围.

解: (1)因为 f(x)是 R 上的奇函数， 解: (1)因为 f(x)是 R 上的奇函数， -1+b -1+b =0,解得 b=1, 解: (1)因为 f(x)是 R 上的奇函数， 解: 所以 f(0)=0,即上的奇函数， (1)因为 f(x)是 R 所以 f(0)=0,即 2+a =0,解得 b=1, 2+a -1+b 所以 f(0)=0,即 -1+b=0,解得 b=1, 所以 f(0)=0,即xx2+a =0,解得 b=1, -2 +1 -2 +1 . 从而有 f(x)= x+1 [4 分] 从而有 f(x)= 2x+x12+a . [4 分] x +a 2 +1 -2 +a -2 +1. 从而有 f(x)= x+1 [4 分] 1 从而有 f(x)=2 x+1+a . [4 分] 1 +1 2 +a - +1 - -2+1 2 -2+1 =- 12 , 1+1 , 又由f(1)=-f(-1)知 f(1)=-f(-1)知 又由 4+a =--1+a -2 +1 4+a -2+1 2 -2+1=- 1+a , 又由 f(1)=-f(-1)知 又由 f(1)=-f(-1)知 4+a =- 1+a , 解得 a=2. [7 分] 4+ax 1+a x 解得 a=2. [7 分] x +1 -2 +1 -2 x+1 -2 -211+1, 解得 a=2. [7 分] (2)方法一 由(1)知 f(x)= x+1 (2)方法一 由(1)知 f(x)= x+ (2)方法一 由(1)知 f(x)= 2++ +2, 解得 a=2. [7 分] (2)方法一 由(1)知 f(x)=2xx 1+2 , 2 +2 2 2 2 2 2 -2t+1 2 t 2t -2t-2t+1 -22t2t-k+1 -22t2-k+1 -2t 2 -2t -2t -2t+1 1 2 22 k 1 <0, 又由题设条件得 又由题设条件得2-2t+1+2+22t222 k 1 又

由题设条件得 2t t 2 2 t 1 + 2 t-k+1+2 0, <0, 又由题设条件得 2 2t2-2t+1+22 22t2-k+1+2 -2t+1+2 22t -k+1+2 2t -2t+1+2 2t 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 即(22t--k+1+2)(-2t -2t+1)+(2t2 -2t+1+2)(-22t22-k+1)<0.[9 分] 2t2 k+1 t2- 2t t2-2t+ t2-k 即(22t2 -k+1+2)(-2t2 -2t+1)+(2t -2t+1+2)(-22t -k+1)<0. [9 分]

整理得23t--2t-k>1,因底数 2>1,故 3t22-2t-k>0. 23t22t-k [12 分] 2 整理得 23t2 2 -2t-k>1,因底数 2>1,故 3t -2t-k>0. [12 分] 2 2 整理得 23t -2t-k>1,因底数 2>1,故 3t -2t-k>0. >1,因底数 2>1,故 3t -2t-k>0. [12 分] 分] 整理得 [12 上式对一切t∈R 均成立，从而判别式 Δ=4+12k<0, t∈R 均成立，从而判别式 Δ=4+12k<0, 上式对一切 上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ=4+12k<0, 上式对一切 t∈R 均成立，从而判别式 Δ=4+12k<0, 1 上式对一切 .t∈R 均成立，从而判别式 Δ=4+12k<0, 1 解得 k<- . [14 分] 解得 k<-13 [14 分] 3 1

即(22t -k+1+2)(-2t+1)+(2 -2t+1)+(2t -2t+1+2)(-22t -k+1)<0. [9 分] 即(2 +2)(-2 1+2)(-22 +1)<0. [9 分]

解得 k<- . 解得 k<-3 .

3

[14 分]

[14 分]

方程思想及转化思想在求参数中的应用x -2xx+1 1 1 x+1 -2 x+1 -2x+1 1 1 -21x+1=-11+ x11 , 1+ 1 , 方法二 由(1)知 f(x)= -2x1 +1=-1+ xx 1 , 由(1)知 f(x)= -2 x+ 方法二 由(1)知 f(x)=-21+2=- 2 +2 x+1 , 方法二 由(1)知 f(x)=2xx+ +1=-1 + 1 , + 方法二 由(1)知 f(x)=-211+2 =-2 +2 x+1 , 方法二 由(1)知 f(x)= 2x+ 1+1 =-2 2x1 2 2 +1 22x+ +2 2x+ +2 方法二 2+ 2 +1, +2=-1+ 2xx+1, +1 方法二 由(1)知 f(x)= + 方法二 由(1)知 f(x)= 2xx+11+2 =-2 2 +1 2 2 +2 2 2 +1 f(x)是奇函数， 由上式易知 f(x)在 R 上为减函数，又因为 f(x)是奇函数， f(x)在 R 2 +2 上为减函数，又因为 f(x)是奇函数， 由上式易知 f(x)在 R 上为减函数，又因为 f(x)是奇函数， 由上式易知 f(x)在 R 上为减函数，又因为 f(x)是奇函数， 由上式易知 f(x)在 R 上为减函数，又因为 由上式易知 由上式易知 f(x)在 R 上为减函数，又因为 f(x)是奇函数， 由上式易知 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 f(x)在 R 上为减函数，又因为 f(x)是奇函数， 由上式易知 f(t22-2t)+f(2t22-k)<0 从而不等式 f(x)在 R 上为减函数，又因为 f(x)是奇函数， 从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 从而不等式 f(t 2-2t)+f(2t 2-k)<0 从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 从而不等式 2 从而不等式 f(t -2t)+f(2t -k)<0 2 从而不等式 f(t -2t)+f(2t2-k)<0 22+k). 等价于 f(t22-2t)<-f(2t22-k)=f(-2t 2+k).

f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t 2+k). 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k). 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t +k). 等价于 f(t 2-2t)<-f(2t 2-k)=f(-2t 2+k). 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t 等价于 2 等价于 f(t R 上的减函数， 等价于 f(t -2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k). 因为 f(x)是-2t)<-f(2t -k)=f(-2t +k). 因为 f(x)是 R 上的减函数， 因为 f(x)是 R 上的减函数， 因为 f(x)是 R 上的减函数， 因为 f(x)是 R 上的减函数， 因为 f(x)是 R 上的减函数， 因为 f(x)是 t2-2t>-2t2+k. 上的减函数， 因为 f(x)是 R2-2t>-2t22+k. 由上式推得 R2上的减函数， [12 分] 由上式推得 t2-2t>-2t2+k. t -2t>-2t2+k. [12 分] 由上式推得 t22-2t>-2t2+k. [12 分] 由上式推得 tt2-2t>-2t 2+k. [12 分] 由上式推得 2 [12 分] 由上式推得 [12 分] 2 +k. 2 由上式推得 有 3t22-2t-k>0, [12 分] 2 由上式推得 tt -2t>-2t +k. [12 分] 即对一切 t∈R-2t>-2t t∈R 有 3t 2-2t-k>0, 即对一切 t∈R 有 3t -2t-k>0, 即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0, 即对一切 t∈R 有 3t -2t-k>0, 即对一切 即对一切 t∈R 有 3t22-2t-k>0, 1 即对一切 t∈R 有 3t -2t-k>0, 1 11. 即对一切 t∈R 有 3t -2t-k>0, 从而 Δ=4+12k<0,解得 k<- 1. . Δ=4+12k<0,解得 k<- 1. [14 分] 从而 Δ=4+12k<0,解得 k<-1 [14 分] 从而 Δ=4+12k<0,解得 k<-3 . [14 分] 从而 Δ=4+12k<0,解得 k<-3 . [14 分] 从而 Δ=4+12k<0,解得 k<-3 [14 分] 3 从而 [14 分] 1. 3 从而 Δ=4+12k<0,解得 k<- [14 分] 从而 Δ=4+12k<0,解得 k<- 3. [14 分] 3 3