张书涵_符号三角形问题

关于符号三角形数与n的关系的研究与实现

云南师范大学 计算机应用技术 张书涵

1 问题描述

在一般情况下，符号三角形的第一行有n个符号。符号三角形问题要求对于给定的n，计算有多少个不同的符号三角形，使其所含的“+”和“-”的个数相同。

例如图1：由14个“+”和14个“-”组成的符号三角形。2个同号下面都是“+”，2个异号下面都是“-” - + - + + + 。 +

+ - - - - +

- + + + -

- + + - - + - - - +

图1 符号三角形

本文就是计算有多少个不同的符号三角形，使其所含的“+”和“-”的个数相同，并且探讨两种符号数相同的不同符号三角形的个数与n的关系。

2 问题分析

用n元组x[1:n]表示符号三角形的第一行。X[i]=1表示第一行第i个符号为“+”， X[i]=0表示第一行第i个符号为“-”。可行性约束函数为，当前符号三角形所包含的“+”个数与“-”个数均不超过n*(n+1)/4 。

容易看出，第1行n个符号的数值不同，将直接导致符号三角形的数值F(n)不同。显然，符号三角形的个数F(n)是随着n的变化而变化。那么，得知F(n)与n必然存在一种关系。其次，一个符号三角形有n(n+1)/2个符号，显然这个公式的分子n，n+1中必有一个为偶数。

记G(n)为一个符号三角形所包含的符号数，假定n为偶数。

n

则上述的公式可改写成：G n n 1 。而且n/2必须再次为偶数，不然

2

就不满足条件：符号三角形的符号数G(n)所含的“+”和“—”的个数相同。所以，n必然是4的倍数，即n=4k，其中k=1，2，3，······。

根据上面的论述，易知当公式的分子n，n+1中有且只有一个为4的倍数，此探讨才有意义，并且研究的条件再次收缩。

3 问题解决

用穷举法列出n和符号数以及符号三角形数F（n）的映射表，如表1所示。