第8章——真空中的静电场

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第8章 真空中的静电场 §8.1 电场强度 §8.2 静电场中的高斯定理 §8.3 静电场的环路定理 电势 §8.4 等势面 电场强度和电势梯度的关系

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静电场: 相对于观察者静止的电荷产生的电场 一个实验规律：库仑定律； 两个物理量： 电场强度、电势； 两个定理： 高斯定理、环路定理

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§8-1 电场强度一、电荷及其性质电荷是物质的一种基本属性 电荷的种类：正电荷(玻璃电) 、负电荷(树脂电) 电荷的性质：同号相吸、异号相斥 电量：物体电荷多少的量度 单位：库仑 C 1. 电荷守恒定律 在一个与外界没有电荷交换的系统内，正负电 荷的代数和在任何物理过程中保持不变 这是物理学中一条普遍规律!3

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2.电荷量子化 1906—1917年，密立根最早从实验上证明 电荷量子：e, q=Ne N=1.2.3…… 1986年推荐值： e = 1.60217733 10-19 C 3. 相对论不变性 实验还表明：一个电荷的电量与其运动状态无关. 例如：H2 分子和 He原子 —— 其中两个质子运动状况相差很大， 但氢气、氦气均不带电！

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二、库仑定律1785年，库仑通过扭称实验得到: 真空中两个静止的点电荷之间的作用力(称为静 电力),与它们所带电量的乘积成正比，与它们之间 距离的平方成反比，作用力的方向沿着这两个点电 荷的连线. r 数学表达式: F21 F12 q q r 1 2 q1q2 F21 F12 k 2 r0 r0

SI位制中： q — 库仑(C) , F — 牛顿(N) , r —米(m) 实验给出： k = 8.9880 10 9 N· m2/C2 1 k 4 0

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真空中介电常数： 0 =8.85×10-12 C-2· N-1· m-2 1 q1q2 F r0 2 4 0 r 库仑定律适用的条件： ① 只适用于点电荷模型 ② 施力电荷对观测者静止(受力电荷可运动)

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三、电场强度1. 定义 电荷周围存在电场，电场对放在其内的任何电荷 都有作用力，电场力对移动的电荷作功。 因此，从“力”的角度来描述场中各点电场的强 弱和方向 分布场 试验点电荷q0放在电场中 q0 某一点则有 场 F 源F 常矢 q0

逐点实验表明， 比值与q0无关,而与场源性质，试验 电荷在场中位置，场内介质分布有关.7

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电场强度

F E q0

E ( r ) 是矢量，是空间坐标点的函数.

单位：牛/库(N/C) 2.场强的叠加原理 电场力的叠加原理 当有多个点电荷存在时,两个点电荷间的力不因 第三个电荷存在而受影响,所以某个点电荷受力n F Fi i 1

E1

由场强的定义，得

q2

E

n F Fi n E Ei q0 i 1 q0 i 1

q1

E2

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场强叠加原理 一组点电荷所激发的电场中某点的电场强度 等于各点电荷单独存在时在该点激发的电场强度 的矢量和。 3.场强的计算 (1)点电荷在真空中的场

强1 qq0 F 4 0 r 2 r0 E q0 q0

q0

F

r

场点

r0

点电荷场源q (相对观测者静止)

r 0 从源电荷指向场点

1 q E r 2 0 4 0 r

场分布呈中心对称 r→0 ,E→∞ 点电荷无意义9

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(2) 点电荷系的场强 Ei 4 o ri2qi 4 0 ri

qi

ri 0

p

Ei E

总场强: n E i 1

ri

r 2 i0

qi

场强在坐标轴上的投影

Ex Eix , E y Eiy , i i E E x i E y j Ez k

Ez Eizi

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(3) 连续带电体的电场 dq dE r0 4 0 1 dq E dE r 2 0 4 0 rdq r0

p

dE

E x dE x E y dE y E z dE z

E E x i E y j Ez k

注意上式为矢量体积分,电荷元随不同的电荷 分布应表达为 体电荷分布 dq= dV 面电荷分布 dq= dS 线电荷分布 dq= dl11

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例: 电偶极子:如图,一对等量、异号的点电荷 (+q、-q), 当 r>>l时, 电偶极矩 p ql,计算A点和B点的场强 . 解：对A点： E y +q和-q 的场强 分别为 E q l 4 0 ( r )2 2 q E i l 4 0 ( r ) 2 2 i

EB E

B

r 0

lr

E E A

E

1 q q EA [ ]i l l 4 0 ( r )2 ( r )2 2 2 2qrl i l l 4 0 r 4 (1 ) 2 (1 ) 2 2r 2r

A

x

1 2ql 1 2p EA i 3 4 0 r 4 0 r 312

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对B点：1 q E E 4 0 ( r 2 l 2 22 )

E y EB E Br 0

B点总场强大小

EB 2E cos q

lr

E E A

E

A

x

l2 1 p EB 2 2 2 1 l l 2 4 r 3 2 2 0 4 0 ( r 2 ) ( r 2 ) 2 2

EB

1 p 4 0 r 3

结论:

1 E p; E 3 r

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例: 真空中有一均匀带电直线长为L,总电量为q,试 计算距直线距离为a的P点的场强.已知P点和直线两端 的连线与直线之间的夹角分别为 1和 2,如图所示. y 解题步骤: dE dE y 1. 选电荷元 dq= dx P dEx 2.确定 dE 的方向 3.确定 dE 的大小 a r 1 dx 2 dE 1 2 4 0 r 0 x dx 4. 建立坐标，将 dE投影到坐标轴上 dE x dE cos dE y dE sin

x

5. 选择积分变量 r、 、l三变量选一个积分变量

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在P点产生大小dE 1

dx2

dE

dE y

y

4 0 r

dExa

P

dEx dE cos(1800 )

dEy dE sin 选 作为积分变量，因此2 a r2 sin2

1

r 0 x

dx

2x

x atg (

2

) actg

dx a

d sin 2

dEx cos d 4 0a

dEy sin d 4 0a15

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E x dEx

2

1

sin 2 sin 1 cos d 4 0a 4 0a2

(cos 1 cos 2 ) E y dEy sin d

L 4 0a 4 0a 1

讨论： 当直线长度L→∞,或a→0,则 1→0, 2→ Ex 0 E y j 2 0a E j 2 0 r 当 异号时，E方向相反16

r

E

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例:真空中有一均匀带电圆环，环的半径为R,带电量 为q,试计算圆环轴线上任一点P的场强. 解：取线元dl,它与P 点的距离为r,则q dq dl dl 2 RdE

dl R 0

y r x z

dl 4 ε0 r 2

d E

d E // x dE

与x轴平行的分量与x轴垂直的分量 dE// dE x i

dl dE// cosθ 2 4 ε0 r dl dE sin θ 2 4 ε0 r dE dE y j dEz k17

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当dq位置发生变化时，它所激发的电场矢量构 成了一个圆锥面。dl

由对称性

R 0

E y Ez 0

r

x

dl dl x E dEx cosθ L L 4 ε r 2 L 4 ε r 2 r 0 02 R x qx E dl 3 3 0 2 2 2 4 ε0r 4 ε (R x ) 0

考虑方向，即

E

qx 4 ( x R )2 2 3 2

i18

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E

qx 4 ( x R )2 2 3 2

i

讨论

(1) E的方向与q的正负有关 (2) 当x=0,即在圆环中心处， E 0 当 x E 0R dE 当 0 x dx 2E Emax

R q 2

(3) 当 x>>R 时， x2+R2≈x2 1 q E 4 0 x 2

2 3 R 2 4 0 ( R ) 2 2

这时带电圆环可以看作一个点电荷19

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例: 求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。 已知：q、 R、 x 求：Ep 解：细圆环所带电量为

q dq 2 rdr 2 R由上题结论知：xdq dE 4 0 (r 2 x 2 ) 3 2 1

R

r

r 2 x2 x

dE

P

dr

x 2 rdr 4 0 (r 2 x 2 ) 3 2R 0

E dE

x rdr 2 0 ( r 2 x 2 )3

2

x (1 ) 2 0 R2 x 220

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E

讨论 (1) 当R>>x

x (1 ) 2 2 2 0 R x

E 2 0 0

无限大均匀带电平面的场强

0

(2) 当R<<x x 1 R 2 (1 (1 ( ) )] E (1 ) [ 2 2 2 0 2 x 2 0 R x

E

q 4 0 x 221