03第三讲 离散时间系统

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第1章 离散时间信号与系统

第三讲 离散时间系统1.2 连续时间信号的采样 1.3 离散时间系统时域分析

1.4 常系数差分方程

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第1章 离散时间信号与系统 采样器可以看成是一个电子开关,设开关每隔T秒短暂地闭 合一次，一般开关闭合时间都是很短的，每次闭合的时间为τ 秒,而且τ越小，采样输出脉冲的幅度就越准确地反映输入信号 在离散时间点上的瞬时值。当τ<<T时，采样脉冲就接近于δ函 数性质。 x (t)

x p (t ) xa (t ) p(t ) x a (t )(b)

a

(a)

xa(t)

o

t s(t)

Tp(t) 1 (c) o xp (t) T t (e) o T t

xa (t )

(d)

o

t

(f)

o

t

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第1章 离散时间信号与系统 1.2.1 理想采样 理想采样就是假设采样开 关闭合时间无限短，即τ→0的 极限情况。此时，采样脉冲序 列p(t)变成冲激函数序列s(t), 这些冲激函数准确地出现在采 样瞬间，面积为1。采样后， 输出理想采样信号的面积(即 积分幅度)则准确地等于输入 信号xa(t)在采样瞬间的幅度。

xa (t ) xa (t )s(t ) xa (t ) xa (t ) n

xa (t ) (t nT ) xa (nT ) (t nT )

s(t )

n

(t nT )

n

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第1章 离散时间信号与系统 1.2.2 理想采样信号的频谱 时域相乘， 则频域(傅里叶变换域)为卷积运算。

若各个信号的傅里叶变换分别表示为:

X a ( j ) S ( j )

xa (t )e

j t

dt

原始模拟信号频谱

s(t )e

j t

dt dt

抽样脉冲信号频谱 已抽样信号频谱

X a ( j )

xa (t )e

j t

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第1章 离散时间信号与系统 则应满足

( j ) 1 X ( j ) S ( j ) Xa a 2

由于s(t)是以采样频率重复的冲激脉冲，因此是一个周期函 数，可表示为傅里叶级数，即

s(t ) 此级数的基频为采样频率，即:

k

a ek

jk s t

1 fs T

2 s 2 f s T

一般称fs为频率，单位为赫兹(Hz),Ωs为角频率，单位为弧度/秒; 习惯上都统称为“频率”。 它们的区别由符号f及Ω来识别。

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第1章 离散时间信号与系统 根据傅氏级数的知识，系数ak可以通过以下运算求得

1 T /2 1 T /2 jk s t ak s(t )e dt T T / 2 T T / 2 1 T /2 1 jk s t (t )e dt T / 2 T T

n

(t nT )e jk t dt s

以上结果的得出是考虑到在|t|≤T/2的积分区间内，只有一个冲激 脉冲δ(t),其他冲激δ(t-nT),n≠0 都在积分区间之外，且利用了 以下关系:

f (0) f (t ) (t )dt

因而

1 jk st s(t ) e T k

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第1章 离散时间信号与系统 由此得出

1 jk st 1 jk s t S ( j ) F[s(t )] F e T F e k

T k 由于

F[e jk s ] 2 ( k s )所以

2 S ( j ) T

k

( k ) ( k )s s k s

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第1章 离散时间信号与系统

1 2 ( j ) Xa T ( k s ) X a ( j ) 2 k 1 X a ( j ) ( k s )d T k 1 X a ( j ) ( k s )d T k 根据冲激函数的性质，可得

1 X a ( j ) X a ( j jk s ) T k

或者

1 ( j ) X j jk 2 Xa a T k T

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第1章 离散时间信号与系统 由此看出，一个连续时间信号经过理想采样后，其频谱将沿 着频率轴以采样频率Ωs=2π/T 为间隔而重复，这就是说频谱产生 了周期性延拓。

也就是说，理想采样信号的频谱， 是Xa(jΩ)的周期延拓函数， 其周期为Ωs,而频谱的幅度则受1/T加权，由于T是常数，所以除 了一个常数因子外，每一个延拓的谱分量都和原频谱分量相同。 因此只要各延拓分量与原频谱分量不发生频率混叠，则有可能恢 复出原信号。

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第1章 离散时间信号与系统 也就是说，如果xa(t)是限带信号，其频谱如图1-10(a)所 示，且最高频谱分量Ωh不超过Ωs/2,即 X a ( j ) X a ( j ) 0 | | s 2 | | s 2

那么原信号的频谱和各次延拓分量的谱彼此不重叠。 这时采 用一个截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器， 就可得到不失真的

原信号频谱。也就是说，可以不失真地还原出原来的连续信号。

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第1章 离散时间信号与系统 s 1 xa ( j ) xa ( j jk s ) T k

1 T

s 2 h

h

h

T (t )

T ( j )

t0^

x a (t )

T

2 s s

0

s 2 s^

X a ( j )

h

s h

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第1章 离散时间信号与系统 s 1 xa ( j ) xa ( j jk s ) T k h

1 T

s 2 h

h

T (t )

T ( j )

t0^

T

2 s s

0^

s 2 s

x a (t )

X a ( j )

s

h

s h

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第1章 离散时间信号与系统 s 1 xa ( j ) xa ( j jk s ) T k h

1 T

s 2 h

h

T (t )

T ( j )

t0^

x a (t )

T

2 s s

0^

s 2 s

X a ( j )

s

h

s h

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第1章 离散时间信号与系统

如果信号的最高频谱Ωh超过Ωs/2,则各周期延拓分量产生频谱的交叠，称为混叠现象. 我们将采样频率之半(Ωs/2)称为折叠频率，即

s 2 T它如同一面镜子，当信号频谱超过它时，就会被折叠回来，造 成频谱

的混叠。

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第1章 离散时间信号与系统 由此得出结论：要想采样后能够不失真地还原出原信号，

则采样频率必须大于两倍信号谱的最高频率(Ωs>2Ωh),这就是奈奎斯特采样定理。 即 fs>2fh 频率Ωh 一般称为奈奎斯特频率，而频率2Ωh 称为奈奎斯特率。 采样频率必须大于奈奎斯特率。 

在实际工作中，为了避免频谱混淆现象发生，采样频率总是选得比奈奎斯特频率更大些，例如选到(3~4)Ωh 。同时为了 避免高于折叠频率的杂散频谱进入采样器造成频谱混淆，一般 在采样器前加入一个保护性的前置低通滤波器，称为防混叠滤 波器，其截止频率为Ωs/2,以便滤除掉高于Ωs/2 的频率分量。

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第1章 离散时间信号与系统

1 X a ( j ) X a ( j jk s ) T k 同样方法，可以证明(将jΩ=s代入),理想采样后，使信

号的拉普拉斯变换在S平面上沿虚轴周期延拓。 也就是说,

X a (s) 在S平面虚轴上是周期函数。即有

1 X a ( s) X a ( s jk s ) T k 式中：

X a ( s)

xa (t )e st dt

( s) x (t )e st dt Xa a

即

X a (s)、X a (s)

分别是

xa (t )、xa (t ) 的双边拉普拉斯变换。

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第1章 离散时间信号与系统 1.2.3 采样的恢复

1 X a ( j ) X a ( j jk s ) T k Xa(j ) 2 T (a) - s … (b) - s o o S(j ) 2 T

如果理想采样满足奈奎斯特定理，则采样后不会产 生频谱混叠1 X a ( j ) X a ( j ) T s 2

s

2 s

…

s X a ( j )

2 s

| |

… (c) - s … (d) - s o o

…

s X a ( j )

2 s

…

s

2 s

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第1章 离散时间信号与系统

故将 X a ( j )通过一个理想低通滤波器，这个理想低通滤波器应 该只让基带频谱通过，因而其带宽应该等于折叠频率，它的特性如图1-12所示。H(j ) T(b) (a) - s … - s o o S(j ) 2 T Xa(j ) 2 T

s

2 s

…

o

s X a ( j )

2 s

s/ 2H(j ) h(t)

… (c)

… - s o

xa (t )

y(t)=xa(t)… (d)

s X a ( j )

2 s

… - s o

s

2 s

图1-12 采样的恢复

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第1章 离散时间信号与系统

T H ( j ) 0

s | | 2 s | | 2

采样信号通过这个滤波器后，就可滤出原模拟信号的频谱

Ya ( j ) X a ( j )H ( j ) X a ( j )因此，在输出端可以得到原模拟信号

ya (t ) xa (t )理想低通滤波器虽不可实现，但是在一定精度范围内，可用一个 可实现的滤波器来逼近它。

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第1章 离散时间信号与系统 1.2.4 由采样信号序列重构带限信号 理想低通滤波器的冲激响应为

1 T j t h(t ) H ( j )e d 2 2 sin( s / 2) sin( t / T ) st / 2 t / T

s / 2

s / 2

e j t d

由 xa (t ) 与h(t)的卷积积分，即得理想低通滤波器的输出为

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第1章 离散时间信号与系统

ya (t )

xa ( )h(t )d xa ( ) (t nT ) h(t )d n

n

xa ( )h(t ) ( nT )d

n

xa (nT )h(t nT )

这里h(t-nT)称为内插函数：

sin[ (t nT ) / T ] h(t nT ) (t nT ) / T