电路第五版邱关源第八章

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第8章

相量法

本章重点8.1 8.2 8.3 8.4 复数 正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式 首页

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重点： 重点： 正弦量的表示、 1. 正弦量的表示、相位差 2. 正弦量的相量表示 3. 电路定理的相量形式

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8.11. 复数的表示形式

复数b 代数式

Im F |F|

F = a + jbF =| F | ejθ

(j = 1 为虚数单位)指数式 o

θa 三角函数式 Re

F =| F | e =| F | (cosθ + j sinθ) = a + jbjθ

F =| F | ejθ =| F | ∠θ

极坐标式返 回 上 页 下 页

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几种表示法的关系： 几种表示法的关系：

Im b |F| F

F = a + jbF =| F | e =| F | ∠θjθ2 2

θo a Re

| F |= a + b b 或 a =| F | cosθ θ = arctan a b =| F | sinθ2. 复数运算 ①加减运算 —— 采用代数式

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若 则 Im F2

F1=a1+jb1, F2=a2+jb2 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2) F1+F2Im

F1+F2F2

F1 o 图解法 Re o

F1 Re

-F2 F1-F2返 回 上 页 下 页

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②乘除运算 —— 采用极坐标式 若 则:

F1=|F1| θ 1 ,F2=|F2| θ 2

F F2 = F e F2 e = F F2 e 1 1 1jθ1 jθ2

j(θ1 +θ2 )

= F F2 ∠θ1 +θ2 1jθ11

模相乘 角相加2

F | F | ∠θ1 | F | e | F | j( θ θ ) 1 1 1 = = = 1 e F2 | F2 | ∠θ2 | F2 | ejθ 2 | F2 | |F| = 1 θ1 θ2 |F2|返 回

模相除 角相减上 页 下 页

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例1解

5∠47 +10∠ 25 = ?o o

原式= (3.41+ j3.657) + (9.063 j4.226) o =12.47 j0.569 =12.48∠ 2.61o

(17 + j9) (4 + j6) 220 ∠35 + =? 例2 20+ 20 + j5 19.24∠27.9o × 7.211∠56.3o 解 原式=180.2 + j .2 + 126 20.62∠ .04o 14 =180.2 + j126.2 + 6.728∠70.16o

=180.2 + j126.2 + 2.238 + j6.329

=182.5 + j132.5 = 225.5∠36

o

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③旋转因子 复数

ejθ =cosθ +jsinθ =1∠θIm F ejθ

F ejθ旋转因子 0

θ

F Re

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特殊旋转因子 特殊旋转因子

+ jF

Im

F

π θ= , 2 π π e = cos + jsin = +j 2 2j π 2

0

Re jF

π j π π π 2 θ = , e = cos( ) + jsin( ) = j 2 2 2

F

θ = ±π , e = cos(±π) + jsin(±π) = 1j±π

注意 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。 都可以看成旋转因子。返 回 上 页 下 页

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8.21. 正弦量瞬时值表达式

正弦量iT

波形

i(t)=Imcos(ω t+ψ)正弦量为周期函数 和频率f 周期T 和频率

0

t

f(t)=f ( t+kΤ )

1 f = T

周期T 重复变化一次所需的时间。单位： 周期 ：重复变化一次所需的时间。单位：秒s 频率f 每秒重复变化的次数。单位： 频率 ：每秒重复变化的次数。单位：赫(兹)Hz返 回 上 页 下 页

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正弦电流电路 激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路 正弦稳态电路)称为正弦电路或交流电路。 (正弦稳态电路)称为正弦电路或交流电路。 研究正弦电路的意义 1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域 1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域 占有十分重要的地

位。 占有十分重要的地位。

优 ①正弦函数是周期函数，其加、减、求导、 正弦函数是周期函数，其加、 求导、 点 积分运算后仍是同频率的正弦函数； 积分运算后仍是同频率的正弦函数；②正弦信号容易产生、传送和使用。 正弦信号容易产生、传送和使用。返 回 上 页 下 页

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2.正弦信号是一种基本信号， 2.正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信 正弦信号是一种基本信号 号可以分解为按正弦规律变化的分量。 号可以分解为按正弦规律变化的分量。

f (t ) = ∑ Ak cos(kωt + θ k )k =1

n

结论对正弦电路的分析研究具有重要的理 论价值和实际意义。 论价值和实际意义。

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2. 正弦量的三要素

i(t)=Imcos(ω t+ψ)

(1) 幅值 (振幅、最大值)Im 振幅、最大值) 反映正弦量变化幅度的大小。 反映正弦量变化幅度的大小。 (2) 角频率ω 相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。 相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。

(3) 初相位ψ

ω = 2π f = 2πT

单位： 弧度/ 单位： rad/s ,弧度/秒

反映正弦量的计时起点，常用角度表示。 反映正弦量的计时起点，常用角度表示。返 回 上 页 下 页

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3. 同频率正弦量的相位差设 u(t)=Umcos(ω t+ψ u), i(t)=Imcos(ω t+ψ i) 相位差 ： = (ω t+ψ u)- (ω t+ψ i)= ψ u-ψ i

规定： | | ≤π (180°) 规定：

等于初相位之差

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>0, u超前 角，或i 滞后 u 角, (u 比 i 先 超前i , 超前到达最大值) 到达最大值);

<0, i 超前 u 角，或u 滞后 i 角, i 比 u 先 ，到达最大值)。 到达最大值)。 u, i u i o

ψu

ωt ψi 返 回 上 页 下 页

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特殊相位关系

=±π (±180 ) ,反相o

= 0, 同相u i o o

u i ωt u

ωt

= π/2:u 领先 i π/2

i o

ωt

同样可比较两个电压或两个电流的相位差。 同样可比较两个电压或两个电流的相位差。返 回 上 页 下 页

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例解

计算下列两正弦量的相位差。 计算下列两正弦量的相位差。

(1) i1(t) =10cos( π t + 3π 4) 100 i2 (t) =10cos( π t π 2) 100

结论

两个正弦量 进行相位比 0 (2) i t= 3π 4cos(π 2π= +π 4 > 0 ( ) =10 ( ) t 5 30 ) 100 1 较时应满足 0 = 5π 4 2t = ) i2 (t) =10sin(100π π 153π 4 同频率、 同频率、同 0 (3)i (ti2t(t==cos(100ππt 1050 ) 函数、同符 u1) =) 10cos( 100 t + 300 ) ) 函数、 ω ( ) 10 3cos( πt 150 100 0 ω1 ≠ 2 2 0 0 = 30 ( 150 + 450 ) 号，且在主 u2 (t) =10cos(200π t ) =120不能比较相位差 = 300 ( 1050 ) =1350 值范围比较。 值范围比较。 (4) i (t) = 5cos( π t 300 ) 1001

i2 (t) = 3cos( π t + 300 ) 100返 回 上 页 下 页

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周期性电流、 4. 周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的瞬时值

随时间而变， 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为 了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。 了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。 周期电流、 周期电流、电压有效值定义 物 理 意 义 直流I 直流 R 交流 i R

W = RI T2

W = ∫0 R (t)dt iT 2返 回 上 页 下 页

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均方根值

I =def

def

1 T

∫

T

0

i (t )d t

2

定义电压有效值： 定义电压有效值：

1 U= T设

∫

T

0

u (t ) d t

2

正弦电流、 正弦电流、电压的有效值

i(t)=Imcos(ω t+Ψ )返 回 上 页 下 页

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1 T 2 2 I= ∫0 Im cos ( ω t +Ψ ) dt T T T 1+ cos2 ω t +Ψ ) ( 2 dt Q ∫0 cos ( ω t +Ψ ) dt = ∫02 1 1 = t = T 2 0 2T

Im = 2I

1 2 T Im ∴ I= Im = = 0.707Im T 2 2

i(t) = Im cos(ω t +Ψ ) = 2I cos(ω t +Ψ )返 回 上 页 下 页

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同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系： 同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：

1 U = Um 2

或

Um = 2U

若交流电压有效值为 U=220V ,

注意

U=380V 其最大值为 Um≈311V Um≈537V

工程上说的正弦电压、 电流一般指有效值， ① 工程上说的正弦电压 、 电流一般指有效值 ， 如 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐 耐压值指的是最大值。因此， 压水平时应按最大值考虑。 压水平时应按最大值考虑。返 回 上 页 下 页