8.5多元隐函数求导

多元复合函数的求导练习y P10. 7 设 z xy xF ( u), 而 u , F ( u)为可导函数. x y 解: z xy xF ( ) x x x z y z y y y F ( u) xF ' ( u) ( 2 ) x x

u

1 z x xF ' ( u) y x

z z P10. 8 设 z f ( x y ), 求 2 , z x x y2 2 2 2

u

xy

解:

令u x y2

2

z x f ( x 2 y 2 ) ( 2 x )zx 2z 2 2 2 xf ( x y ) ( 2 x ) 2 x 2 2 2 f (x y )

u x

x y

2z 2 x f ( x 2 y 2 ) ( 2 y ) x y

设 f ( u, v ) u v 则:2

f1 ' 2uv f1 ' ( u, v ) f11 ' 2v f12 ' 2u

f 2 ' u2 f 22 ' 0

设 f ( u, v , w ) u2vf 3 ' 0 f 3 ' ( u, v , w )

z 例6. 设 z f ( x y , x y ) , f C , 求 . x y2 2 2 2

解:

z f1 y f 2 ( 2 x ) , x

z f

2z x f12 ( 2 y ) y f1 f11 x y

1 2

x y

x f 22 ( 2 y ) ( 2 x ) f 21 2 x 2 y 2 f12 4 x y f 22 . f1 x y f11

P9. 6 (1)解:

f ( u, v )

u f

1 2

x y

P9. 6 (2)

P11. 9(1)解:

f ( u, v )

2z y { 2 x

f1 ' ( xy , y )

} y { }

z f}

1 2

x y

2z x y z x { 2 y2

二、多元复合函数的全微分设函数 都可微, 则复合函数 z f ( ( x , y ) , ( x , y )) 的全微分为 z z dz dx d y x y z u z v z u z v dy d x u y v y u x v x

z u u z v v dx d y dx d y u x y y v x z z du dv . u v可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达

形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.

第五节 隐函数的求导方法由 y f ( x ) 表示的函数 , 称为显函数 .例如, 若由方程 F ( x , y ) 0 可确定 y 是 x 的函数 , 则称此 函数为隐函数 . 例如, 二元函数:

z f ( x, y )

F ( x, y, z ) 0

一、一元隐函数及其导数dy 例 已知：x 3 x y 0 , 求 . dx2 2

解: 两边对 x 求导,得

( 2 x 3) 2 x 3 2 y y 0 y 2y对隐函数方程微分 :

一般地, 设方程 F ( x , y ) 0 ,

dy Fx . dx Fy

存在性见 P 32 定理1 .

y dy 例2. 已知 ln x y arctan 0, 求 . x dx2 2

y 解: 令 F ( x , y ) ln x y arctan , x x y y x 则 Fx ( x , y ) 2 , Fy ( x , y ) 2 , 2 2 x y x y2 2

dy Fx x y . y x dx Fy

二元隐函数及其导数

F

设 F ( x , y , z ) 0 确定隐函数 z z( x , y )两边对 x 求偏导,

x y z

x y

Fx Fz z x 0

例 : x 2 y 2

z 2 4 z 0 , 确定z z( x , y ). 解一: 两边对 x 求偏导

z Fx x Fz

Fy z 同理 y Fz

x 2 x 2z z x 4 z x 0 z x 2 z 解二: 令 F ( x , y , z ) x 2 y 2 z 2 4 z z Fx x Fx 2 x; Fz 2 z 4 x Fz 2 z

x2 y2 z2 z 例2. 设 a 2 b 2 c 2 1 , 求 x解一: 两边对 x 求偏导

F ( x , y , z) 0

2 x c x z 2 2 2 2 zx 0 zx 2 a a z c 2 2 2 x y z 解二: 令 F ( x, y, z ) 2 2 2 1 a b c 2x 2z Fx 2 ; Fz 2 ; a c

c2 x z Fx 2 a z x Fz

z 2 2 2 x y z 4 z 0 , 例3. 设 求 2. x2

解法1 利用隐函数求导

z z 2 x 2z 4 0 x x再对 x 求导

z x x 2 z z 4 2 0 x2

2 z 2 1 ( ) x

解法2 利用公式 2 2 2 设 F ( x , y , z ) x y z 4z则

Fx 2 x , Fz 2z 4

x x z Fx z 2 2 z x Fz两边对 x 求偏导

z x ( ) 2 x 2 z x2

( 2 z )2 x 2 ( 2 z )3

z 例3. 设 z f ( x y z , xyz) , 求 x解一: (直接法)

确定 z z( x , y )

解二: (公式法)

z z z f1 (1 ) f 2 ( yz xy ), x x x f1 yzf 2 z , x 1 f1 xyf 2

令 F ( x, y, z ) z f ( x y z , xyz) Fx f1 f 2 yz Fz 1 f1 f 2 xy f1 yzf 2 z Fx , x Fz 1 f1 xyf 2

解三: (微分法)

dz df ( x y z , xyz )

dF (u , v) F1 du F2 dv

dz f1 d ( x y z ) f 2 d ( xyz) f1 (dx dy dz ) f 2 ( yzdx xzdy xydz )(1 f1 xyf )dz ( f1 yzf 2 )dx ( f1 xzf 2 )dyf1 yzf 2 f1 xzf 2 dz dx dy 1 f1 xyf 2 1 f1 xyf 2 f1 yzf 2 z , x 1 f1 xyf 2