成考数学教案 4.§2不等式和不等式组(五、六)、§3指数、对数

成考数学教案

文化理论课教案

7.5.1-10-j-01

：

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【组织教学】

1. 起立，师生互相问好

2. 坐下，清点人数，指出和纠正存在问题

【导入新课】

1．提问：什么叫叫不等式，不等式的解与等式的解有何不同？ 2．运算： 3x 15，x 5，x 5，x 3 5

【讲授新课】

第二章 不等式和不等式组 五、一元二次不等式及其解法

1．一元二次不等式 含有一个未知数并且未知数的次数是二次的不等式是一元二次不等式，如ax bx c 0 与 ax bx c 0等都是一元二次不等式。

2

2

2．一元二次不等式的解集(a 0,若a 0则通过同解变形使a 0) (1) ax2 bx c 0 时,

① 0时, ax2 bx c 0 有两个相异的实数根x1,x2,不等式的解是:x x1或x x2 ② 0时, ax2 bx c 0 有两个相等的实数根x1 x2

b2a

b2a

,不等式的解是:x

③ 0时, ax2 bx c 0 无解,ax2 bx c 0 图像都在x轴上方,不等式的解是R (2) ax2 bx c 0 时

① 0时, ax2 bx c 0 有两个相异的实数根x1,x2,不等式的解是:x1 x x2

2

② 0时, ax2 bx c 0 有两个相等的实数根x1 x2，ax bx c 0 的图像都在x轴的上

方，没有任何值使ax2 bx c 0 成立，故不等式的解集是

③ b2 4ac 0时, ax2 bx c 0 无解,其图像都在x轴的上方，没有任何值使

ax bx c 0 成立，故不等式的解集是

2

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例 解下列不等式

(1)x2 1 2x (2) 3x2 16x 35 0 (3) x2 3x 4 0

解 (1) 原式即x2 2x 1 0,

b2 4ac ( 2)2 4 1 1 0，

x 2x 1 0有两相等实数根

b 2

x1 x2 1

2a2 1

2

图2.7

从图2.7可知，要使x 2x 1 0， 则须x 1 或 x 1，也即x 1

(2) b2 4ac

( 16)2

4 3 ( 35) 676 0

3x 16x 35 0有两相异实数根x1,x

2 x1

b 2a b 2a

( 16)

2 32 3

5

3

2

2

，

x2

7

53

图2.8

从图2.8可知，要使3x2 16x 35 0成立，则须 (3) 原式即x2 3x 4 0

b 4ac

3 4 1 ( 4) 25 0

2

2

x 7

x 3x 4 0有两相异实数根x1,x

2 x1

b 2a b 2a

3

4

2

4 0

2 1 3

x1

2 1

1

图2.9

2

从图2.9可知，要使x 3x 4 0成立，则须x 4 或 x 1

六、可用一元二次不等式求解的两种常见的不等式

1. 不等式(ax b)(cx d) 0(或 0)的解法

显然, 不等式(ax b)(cx d) 0(或 0)就是一元二次不等式,故解法可同前,也可用更简便的方法. 2. 不等式

ax bcx d

7 x

0 (或 0)的解法

例 解不等式

1

5 3x

7 x2x 1

1 0,即 0，这个不等式可化为下列两个不等式组求解： 解 原式变形为:

5 3x3x 5

2x 1 0 ①

(1)

3x 5 0 ② 2x 1 0 ①

(2)

3x 5 0 ②12

不等式组(1)的解是x

与x

53

的公共部分，即

53

x

1

51

，用集合表示为 x x 232

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不等式组(2)的解是x

12

与x

53

的公共部分，即空集

7 x5 3x

不等式组(1)与(2)的解都能使不等式

的并集，即

故 1成立，

51

1的解集是集合 x x 与

5 3x32

7 x

51 51

=x x x x

32 32

第三章 指数与对数

指数和对数是数学中的两个重要概念，又是两种重要的运算，也是学习指数函数、对数函数的基础。

一、根式

1.定义

n次根式，n 正整数N 且n 1。 2.性质

(1)n A

(2)当n

(3)当n

是偶数时，

A

A, A 0

A 0, A 0

A, A 0

二、指数 (把n个A相乘记为an,an中的n叫做指数) 1.有理指数幂

n

n

(1)正整数指数幂:a a a a a(n N 且n 1)

(2)零指数幂:a

aa

nn

a a

1a

n

n n

a

n n

1

(3)负整数指数幂:a

m

n

(a 0且n N )

(4)分数指数幂

:an

a

mn

a 0;m,n N 且n 1)

a 0;m,n N且

n 1 )

2.指数律(幂的运算法则)(a 0,b 0,x,y R) (1) a a a(4)

aa

xyx

y

x y

(2) (a) a (3) (ab) ab

x

x

xyxyxxx

a

x y

a a

(5) x

b b

三、对数

b

1.定义 如果a N(a 0且a 1)，那么b叫做以a为底的N的对数，记作logaN b,这里a叫底

数，N叫真数。

以10为底的对数叫做常用对数，通常记作为lgN；以e为底的对数叫做自然对数，通常记作lnN 2.性质

(1) 零和负数没有对数，即真数N必须大于0；

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(2) 底的对数为1，即logaa 1； (3) 1的对数为0，即loga1 0;

(4) 真数的对数作为同底底数的指数幂是真数本身,即alog(5) 同底指数幂的对数等于幂指数,即logaab b 3.运算法则

(1) 积的对数等于对数之和，即loga(M N) logaM logaN (2) 商的对数等于对数之差，即loga

MN

logaM logaN

n

a

N

N

(3) 幂的对数等于幂指数乘以对数，即logaM

loga

nlogaM

m

aM

n

mn

logaM

4.换底公式

logaN

logbNlogba

, logab

25

3

1logba

(logab logba 1) (N换成b即得:logab

x

logbblogba

1logba

)

例3—1 (1)

计算aa

25

35

35

2