专题3.3 图形面积求最值,函数值域正当时-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答

专题3 图形面积求最值，函数值域正当时

【题型综述】

1、面积问题的解决策略：

（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）

（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形

2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化

3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析

【典例指引】

例1已知椭圆C:

22

22

1

x y

a b

+=（0

a b

>>）的一个顶点为()

0,1

M-

，离心率为

3

，直线:l y kx m

=+

（0

k≠）与椭圆C交于A，B两点，若存在关于过点M的直线，使得点A与点B关于该直线对称．（I）求椭圆C的方程；

（II）求实数m的取值范围；

（III）用m表示∆MAB的面积S，并判断S是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．

点评：（1）第二小问分为两个操作程序：①据对称性得到直线AB 斜率k 与截距m 之间的关系；②据位置关系构建直线AB 斜率k 与截距m 之间的不等关系．点关于直线对称的转化为对称轴为垂直平分线，法一进一步转化为等腰三角形，从而线段相等，利用两点距离公式进行坐标化，化简后得到交点坐标纵横坐标之和及弦AB 的斜率，故可以使用韦达定理整体代入．实际上所有使用韦达定理整体代入这个处理方式的标

准是题意韦达定理化：①条件与目标均能化为交点坐标和与积的形式；②横坐标←−−→交点在直线上

纵坐标；法二则点差法处理弦中点问题．均可得到直线AB 的斜率k 与截距m 之间的关系．构建不等式的方式：法一根据直线与椭圆的位置关系，利用判别式构建参数m 的不等式；法二根据点与椭圆的位置关系，利用中点在椭圆内构建参数m 的的不等式；故直线与椭圆相交可与点在椭圆内等价转化；

（2）第三小问分成两个操作程序：①构建面积的函数关系；②求函数的值域．法一利用底与高表示三角形面积，三角形的底则为弦长，三角形高则为点线距离．法二利用三角形面积的坐标公式122112

S x y x y =-，不管哪种面积公式，均会出现交点坐标之差，故从整道题全局来说，第二问使用韦达定理显得更流畅，时分比更高，所以要注意方法的选择与整合．关于分式型函数求最值，常见思路为：以分母为整体，分子常数化，往往化简为反比例函数、对勾函数及二次函数的复合函数，本题这个函数形式并不常见．特别要注意基本函数的和与差这种结构的函数，特殊情况可以直接判断单调性，这样可以避免导数过程． 变式与引申：若过点M 的直线交椭圆于D ，求四边形D MA B 的面积的取值范围．

例2、已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右两个焦点分别为12,F F

，离心率e = 2. （1）求椭圆的方程；

（2）点A 为椭圆上的一动点（非长轴端点），2AF 的延长线与椭圆交于B 点， AO 的延长线与椭圆交于C 点，求ABC ∆面积的最大值.

例3、已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C 的轨迹方程；

（2）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．

【点评】本题主要考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点间的距离公式、三角形的面积公式、二次函数的性质等知识点的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力、推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中把切线的方程代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，表示出三角形的面积是解答问题的关键．

例4、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>的焦距为2,离心率e 为12. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程; (Ⅱ)过点1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆2212x y +=的切线,切点分别为M N 、,直线MN 与x 轴交于点E ,过点E 作直线l 交椭圆C 于A B 、两点,点E 关于y 轴的对称点为G ,求ΔGAB 面积的最大值.

【思路引导】

(Ⅰ)由椭圆的焦点为2，离心率e 为12

，求出,a b ，由此能求出椭圆的标准方程；(Ⅱ)由题意，得O 、M 、P 、n 四点共圆，该圆的方程为221154216x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭，得O 的方程为2212x y +=，直线MN 的方程为210x y +-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则121212

GAB S GE y y y y ∆=-=-，从而GAB S ∆最大， 12y y -就最大，可设直线l 的方程为1x my =+，由22

1

{ 143x my x y =++=，得()2234690m y my ++-=，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，能求出GAB ∆的面积的最大值.

【点评】本题主要考查待定系数法求椭圆的方程、韦达定理和三角形面积公式及单调性求最值，属于难题. 解决圆锥曲线中的最值问 …… 此处隐藏：2130字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……