第2章计算机控制系统基础(1)

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第二章 计算机控制系统基础

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本章主要内容1.1 1.2 1.3 1.4 信号的采样与Z变换 离散控制系统分析 计算机控制系统的总线技术 本章小结

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第一节 Unit 1信号的采样与Z变换

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本节主要内容

信号变换理论 Z变换

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2.1.1 信号的采样、量化、恢复及采样保持器典型的计算机控制系统的结构如图1所示

r(t)

e(t)

采 样 器

* e (t)

A/ D 转 换

e(kT)

数字控 制器 (计算机)

u(kT)

D/ A 转 换

* u (t)

保 持 器

u(t)

被控 对象

y(t)

图1 典型计算机控制系统结构框图

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为了突出重点，只讨论影响系统动态特性的基本问题。为

了便于数学上分析和综合，在分析和设计计算机控制系统时， 常常假定A/D、D/A转换器的精度足够高，使得量化误差可以 忽略，于是A/D、D/A只存在物理上意义而无数学上意义。即： 数字信号与采样信号e(kT)与e*(t),u(kT)与u*(t)是等价的。 图1可进一步简化为如图2所示。

r(t)

e(t)T

e(kT) * e (t)

数字控制 器 (计算机)

u(kT)T

* u (t)

保 u(t) 持 器

被控 对象

y(t)

图2 计算机控制系统结构简化框图

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计算机控制系统的信号形式控制对象中各点信号一般均为连续模拟信号，由于计算机 是串行工作的，必须按一定的采样间隔(称为采样周期)对连续 信号进行采样，将其变成时间上是断续的信号才能进入计算机。 所以，它除有连续模拟信号外，还有离散模拟、离散数字、连 续数字等信号形式，是一种混合信号系统。u 连续模拟信号：时间是连续的，幅值是模拟量。如 y (t ) 、 (t )

离散模拟信号：时间是离散的，幅值是模拟量。如 y * (t )u 离散离散信号：时间是离散的，幅值是离散量。如 y (kT ) 、 (kT )

离散数字信号：时间是离散的，幅值是数字量。如 10101010

连续数字信号：时间是连续的，幅值是数字量。如计算机内存信号

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1.信号的采样过程在计算机控制系统中，信号是以脉冲序列或数字序 列的方式传递的，把连续信号变成数字序列的过程叫做 采样过程；实现采样的装置叫采样开关。

采样过程的原理见图3所示，其中采样开关为理想的采

样开关，它从闭合到断开以及从断开到闭合的时间均为 零。采样开关平时处于断开状态，其输入为连续信号 f(t),在采样开关的输出端得到采样信号f *(t)。

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f (t) T (a) 采样开关 f(t)

f *(t)

f *(t)

0 T …

2T 3T 4T 5T … t(b) 连续信号

0 T 2T 3T 4T 5T … t … (c) 采样信号

图3 信号的采样过程下午12时33分 9

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f(t)为被采样的连续信号，f *(t)是经采样后的脉冲序列，采样开关的采样

周期为T。若采样开关的接通时间为无限小，则采样信号f *(t)就是f(t)在开关 合上瞬时的值，即脉冲序列 f(0),f(T),f(2T),…,f(KT),…可用理想脉冲 函数将采样后的脉冲序列f*(t)表示成：

f (t ) *

k

f ( kT ) (t kT )

t kT

对于实际系统，当t<0 时，f(t)=0,故有：

f * (t ) f (0) (t ) f (T ) (t T ) f (2T ) (t 2T )

f ( kT ) (t kT )

t kT

k 0

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根据 函数的性质，

T (t )

k

(t kT )

t kT

其中 T (t ) 为理想采样开关的数学模型： f * (t ) f (t )

k

(t kT )

f (t ) T (t )

采样开关可以看作是脉冲调制器，采样过程看作是 脉冲调制过程， 采样信号 f (t ) 是由理想脉冲序列所组成，幅值由 f (t ) 在时刻 t kT 的值确定。*

Question: 从信号的采样过程可知，经过 采样，不是取全部时间上的信号值，而是取 某些时刻的值。这样处理会不会造成信号的 丢失呢？下午12时33分 11

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2.采样定理计算机控制系统是利用离散的信号进行控 制运算，这就带来一个问题：采用离散信号能否 实施有效的控制，或者连续信号所含的信息能否 由离散信号表示，或者从离散信号能否一定能代 表原来的连续信号。

例如：有两个不同的连续信号f1(t)和f2(t),假设 选择采样周期都为T,如图4所示，从图中可以看出 ，f1(t)和f2(t)具有相同的采样信号f *(t),这说 明f *(t)未必能完全反映或近似的反映连续信号。下午12时33分 12

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f *(t) f(t) f2(t)

f1(t)

0

T

2T

3T

4T

…

…

t

图4 两个不同的连续信号的采样过程下午12时33分 13

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香农(Shannon)采样定理

一个连续时间信号f(t),设其频带宽度是有限 的，其最高频率为ωmax(或fmax),如果在等间隔点 上对该信号 f ( t )进行连续采样，为了使采样后的 离散信号 f * ( t )能包含原信号 f ( t )的全部信息量。 则采样角频率只有满足下面的关系： ωs≥2ωmax 采样后的离散信号f

*(t)才能够无失真地复现f(t)。 否则不能从f *(t)中恢复f(t)。其中，ωmax是最高角 频率，ωs是采样角频率。它与采样频率fs、采样周期T 的关系为： 2

s 2 f s

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T

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采样周期T的选择方法常见被控对象采样周期参考被控物理量 流量 压力 液面 温度 成份 采样周期T 1~5(s) 3~10(s) 6~8(s) 15~20(s) 15~20(s) 备注 优先选用2s 优先选用8s 优先选用7s 优先选用纯滞后时间 优先选用18s

位置下午12时33分

10~50(ms)

优先选用30ms15

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2.信号的量化定义：f * (t )

将时间上离散、幅值上连续变化的离散模拟信号 用一组二进制数码来逼近的过程称为信号

的量化。

执行量化动作的装置是A/D转换器，把在 f min ~ f max 范围内变化的采样信号 f (t ) 通过字长为 n 的A/D转 0 ~ 2 n 1 )范围内的某个数字量。 换器，变换成(*

q 量化单位定义为 ， 是二进制数的最 2 1 低有效位对应的整量单位。量化过程是一个 1 q 小数归整过程，所以量化误差为 2q n

f max f min

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2.信号的恢复过程与采样保持器 在计算机控制系统中的执行机构和控制 对象的输入信号一般为连续信号，这就必 须将计算机输出的数字信号序列还原成连 续信号，这就是信号的恢复过程。

由于采样信号在两个采样点时刻上才有值，

而在两个采样点之间无值，为了使得两个采样 点之间为连续信号过渡，以前一时刻的采样值 为参考基值作外推，使得两个采样点之间的值 不为零值，这样来近似连续信号。将数字信号 序列恢复成连续信号的装置叫采样保持器。下午12时33分 17

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已知某一采样点的采样值为f(kT),将其连续信号 f(t)在该点邻域展开成泰勒级数为：

f (t )

t kT

f ( kT ) f ( kT )(t kT )

1 2!

f ( kT )(t kT ) 2

外推的项数称为保持器的阶数。 取等式右端第一项近似，有 f(t) ≈ f(kT) 称零阶保持器，表示为ZOH。 取等式右端两项之和近似，有f (t ) f ( kT ) f ( kT )(t kT ) f ( kT )

kT≤t<(k+1)T

f ( kT ) f [( k 1)T ] T

(t kT )

kT≤t<(k+1)T 称一阶保持器。 同样，可以取等式前n项之和近似，就构成了n阶保持器。下午12时33分 18

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在计算机控制系统中，最广泛采用的一类保 持器是零阶保持器。零阶保持器将前一个采样时 刻的采样值f(kT)恒定地保持到下一个采样时刻 (k+1)T。也就是说在区间[ kT,(k+1)T ]内零价 保持器的输出为常数。如图5所示。f(t) f(t)

f(kT)

0

T

2T

3T

4T

5T

…

t

0

T

2T

3T

4T

5T

…

t

图5 应用零阶保持器恢复的信号下午12时33分

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可以认为零阶保持器在 (t)作用下的脉冲响 应h(t),如图6所示 而 h ( t )又可以看成单位阶跃函数 1 ( t ) 与 1(t-T)的迭加，h(t)=1(t)-1(t-T)

h(t) 1

取拉氏变换，得零阶保持 器的传递函数:t0 T

H (s)

1 e s

Ts

图6 零阶保持器的脉冲响应下午12时33分

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零阶保持器的传递函数为 其频率特性为H 0 ( j )

H 0 (s) sin(

1 e Ts s T) e j T 2

1 e jT j T sin

T

则幅频特性为相频特性为

H 0 ( j )

s s

2 T 2

H 0 ( j )

T 2

k

其中 幅频及相频特性如图7所示。下午12时33分

k int( ) ,int为取整符号，对应的 s21