中考复习运动型问题课件

专题十三

运动型问题

【专题分析】运动型问题在中考中的常考点有： 函数中的动点问题，几何图形中的动点问题，图形运 动型问题等. 近几年来动态问题成为了中考命题的热点，常常 以压轴题的形式出现. 【解题方法】解决运动型问题常用的数学思想是 方程思想，数学建模思想，函数思想，转化思想等； 常用的数学方法有：分类讨论法，数形结合法等.

(2013· 湖州 )如图， 已知 点 A 是第一象限内横坐标为 2 3的一个定点，AC⊥ x 轴于点 M,交直线 y=- x 于点 N,若 点 P 是线段 ON 上的一个动点， ∠ APB= 30° , BA⊥ PA, 则点 P 在线段 ON 上运动时，A 点不变， B 点随之运 动. 求当点 P 从点 O 运动到点 N 时， 点 B 运动的路径 长是 2 2.

【思路点拨】 需要画出草图，作出点 B 的轨迹 B0Bn, 然后利用相似三角形证明线段 B0Bn 就是点 B 运 动的路径 (或轨迹 );利用 △ AB0Bn∽△ AON,求出线段 B0Bn 的长度，即点 B 运动的路径长.

解析： 由题意可知， OM = 2 3,点 N 在直线 y=- x 上， AC⊥ x 轴于点 M,则 △ OMN 为等腰直角三角形， ON = 2 OM = 2 ×2 3 = 2 6. 如图 ①所示，设动点 P 在 O 点 (起点 )时，点 B 的 位臵为 B0,动点 P 在 N 点 (终点 )时，点 B 的位臵为 Bn,连结 B0Bn.

∵ AO⊥ AB0 , AN⊥ ABn,∴∠ OAC=∠ B0 ABn. 又 ∵ AB0= AO· tan 30° , ABn= AN· tan 30° ,∴ AB0 ∶ AO = ABn∶ AN=tan 30° , ∴△ AB0 Bn∽△ AON,且相似比为 tan 30° , 3 ∴ B0 Bn= ON· tan 30° = 2 6× = 2 2. 3 现在来证明线段 B0 Bn 就是点 B 运动的路径 (或轨 迹 ).

如图 ②所示， 当点 P 运动 至 ON 上的任一点时，设其对 应的点 B 为 B1, 连结 AP, AB1, B0B1. ∵ AO⊥ AB0, AP⊥ AB1, ∴∠ OAP= ∠ B0AB1, 又 ∵ AB0 = AO· tan 30°, AB1 = AP· tan 30°, ∴ AB0∶ AO= AB1∶ AP,

∴△ AB0B1∽△ AOP, ∴∠ AB0B1= ∠ AOP. 又 ∵△ AB0Bn∽△ AON, ∴∠ AB0Bn= ∠ AOP, ∴∠ AB0B1= ∠ AB0Bn, ∴点 B1 在线段 B0Bn 上，即线段 B0Bn 就是点 B 运 动的路径 (或轨迹 ). 综上所述， 点 B 运动的路径 (或轨迹 )是线段 B0Bn, 其长度为 2 2.

(2013· 台州 )如图， 已知 边长为 2 的正三角形 ABC 顶点 A 的坐标为(0,6), BC 的中点 D 在 y 轴上，且在点 A 下方，点 E 是边长为 2,中心在原点的正六 边形的一个顶点， 把这个正六边 形绕中心旋转一周， 在此过程中 DE 的最小值为( A. 3 B. 4- 3 C. 4 D. 6 - 2 3 )

【思路点拨】 首先得到当点 E 旋转至 y 轴上时 DE 最小，设此时 E 的对应点为 E′,然后分别求出 AD, OE′的长，最后求得 DE′的长即可.

解析：如图，当点 E 旋转 至 y 轴上时 DE 最小，设此时 E 的对应点为 E′ . ∵△ ABC 是

等边三角形， D 为 BC 的中点， ∴ AD⊥ BC. ∵ AB = BC = 2 , ∴ AD = AB· cos B= 3.

∵正六边形的边长等于其外接圆半径，正六边形 的边长为 2, ∴ OE= OE′= 2. ∵点 A 的坐标为 (0,6), ∴OA= 6. ∴ DE′= OA- AD- OE′= 4- 3.

(2013· 衢州 )在平面直角坐标系 xOy 中，过原 点 O 及点 A(0,2), C(6,0)作矩形 OABC,∠ AOC 的平 分线交 AB 于点 D.点 P 从点 O 出发， 以每秒 2个单位 长度的速度沿射线 OD 方向移动；同时点 Q 从点 O 出 发， 以每秒 2 个单位长度的速度沿 x 轴正方向移动. 设 移动时间为 t 秒. (1)当点 P 移动到点 D 时，求出此时 t 的值； (2)当 t 为何值时，△PQB 为直角三角形；