4.2一阶系统的时间响应

复习：1)时间响应及其组成。

2)系统的特征根影响系统自由响应的收敛性和振荡。 特征根实部影响系统自由响应的收敛性。 特征根虚部影响系统自由响应的振荡情况。 3)控制系统中的典型输入信号及其拉氏变换。

4.2微分方程 传递函数

一阶系统的时间响应T为时间常数w(t) 1/T 0.368/T 0 T

dxo (t ) T xo (t ) xi (t ) dt 1 G ( s) Ts 1

1.一阶系统的单位脉冲响应xi (t ) (t X i (s) 1 1 X o (s) G(s) X i ( s) Ts 1 1 1 1 1 ] w(t ) L [ X o (s)] L [G ( s)] L [ Ts 11 t 1 1 1 1 T T L [ ] L 1[ ] e 1 1 T T s s T T

1 斜率 T 2

t(sec)

单位脉冲响应函数与 传递函数为Laplace变 换对

1 t T e 瞬态响应 T

稳态响应

0

2. 一阶系统的单位阶跃响应

X i (s) 1 s xo(t) 1 1 1 X o (s) G (s) X i ( s) Ts 1 s 1 1 0.632 -1 -1 xo t L [ X o ( s )] L [ ] Ts 1 sxi (t ) u (t 1

斜率1/T

1 T L [ ] s Ts 1 1 e t T 瞬态响应： e t T 1

0

T

t(sec)

稳态响应： 1

3. 一阶系统的单位斜坡响应

xo(t) T

xi (t ) r (t t

X i (s) 1 s 2

1 0 T xo t L [ X o ( s )] L [G ( s ) 2 ] s 1 1 1 T T -1 L [ 2 ] L-1[ 2 ] Ts 1 s s s s 1 T t T (t 0)-1 -1

1 X o (s) G (s) X i ( s) G( s) 2 s

t(sec)

xo t t T Te稳态响应： t T

瞬态响应： Te t T

对于一阶系统输 入

G(s)

1 Ts 1

响

应

(t)u(t ) 1

t 1 T e T

1 e

t T t T

t总结1:

t T Te

如果输入函数等于某个函数的导数，则该输入函数所 引起的输出等于这个函数所引起的输出的导函数。即对于 线性定常系统，若 x(t ) 引起的输出为 y(t ) ,则x (t ) 引起 的输出为 y (t ) 。

例1:已知xi (t ) t , xo (t ) t 0.85(1 e 脉冲响应函数。

t 0.85

), 求该系统的单位

解： (t) t (t ) [t 0.85(1 e w(t ) xo1 .e 0.85 t 0.85

t 0.85

)] (1 e

t 0.85

)

4.时间常数T对时间响应的影响

单位脉冲响应

单位阶跃响应

单位斜坡响应

总结2: 时间常数T 越小，系统惯性越小，系统响应越快； 时间常数T 越大，系统惯性越大，系统响应越慢。

5.一阶系统性能指标——调整时间 ts调整时间 ts :一阶系统在单位阶跃输入作 用下，其响应达到(1- )稳态值所需 要的时间。稳态值 xo(t)

稳态值

.

为相对容许误差

由xo (t ) 1 e t / T1 e ts / T (1 ) 1

xo (t s ) 1 e ts / T

0

ts

t(sec)

有e ts / T 1

ts T ln

时，ts 4T ;

5 时，ts 3T。

越小，精度要

求越高，调整时间ts 越长，系统响应的快速性越差； T 越大，系统惯性越大，调整时间ts 越长，系统响应的快速性越差。 T 越小，系统惯性越小，调整时间ts 越短，系统响应的快速性越好。

调整时间反映系统响应的快速性

例2 一阶系统的传递函数 2%,求其调整时间 t。 s 解： G ( s ) 7 s 2 3.5 0.5s 1

7 ,若容许误差为 G (s) s 2

当 =2%时，ts 4T 4 0.5 2s说明：对于一阶系统 G ( s ) 输 入K ,T为时间常数，K为一阶系统的增益。 Ts 1

响

应t

(t)u(t ) 1

K T e T

K (1 e )K (t T Te ) t T

t T

t

4.3 二阶系统的时间响应X o ( s) n2 传递函数： G ( s ) X ( s ) s 2 2 s 2 i n n

n ——无阻尼固有频率

特征方程：

s 2 n s 02 2 n

——阻尼比

特征根：0 1j s1

s1,2 n n 2 1

0

1[s]

1[s]

n

j

j s1 (s2)

j

[s]

n

s1

n s2欠阻尼系统

s2无阻尼系统

n

s1 s2

临界阻尼系统

过阻尼系统

1. 二阶系统的单位脉冲响应w(t ) L-1[G ( s ) X i ( s )] L-1[G ( s )]2 2 1 n n L [ ] L-1[ 2 ] 2 2 2 2 s 2 n s n ( s n ) ( n 1 )

1) 0< <1时：w(t ) L-1[

n

w(t )

n

1 2 ( s n )2 ( n 1 2 ) 2

n 1 2

]

1 2

e nt sin d t2

w(t) n 10 -1 0 1 2 t(sec)

d n 1

——有阻尼固有频率

角频率为有阻尼固有频率的减幅振荡

2) 时：

n -1 w(t ) L [ n 2 ] n sin n t 2 s n3) 1时：-1

w(t) 1

n

0 -1 0 1 2 t(sec)

角频率为无阻尼固有频率的等幅振荡

n t 2 w(t ) L [ ] t e n ( s n )2n

w(t) 0.4

n

0.2 -1 0 1 2 t(sec)

无振荡,先上升后急速衰减w(t )

4) 1时：无振荡 n -12 12

{L [

12

n2 12

s ( 1) n

]

w(t) 0.4

n

0.2

[e

( 2 1) nt

e

( 2 1) nt

]

-1 0

1

2 t(sec)

2. 二阶系统的单位阶跃响应

xi (t ) u (t )

2 n 1 1 X o ( s) G( s) 2 2 s s 2 n s n s

1 L[u (t )] s

xo(t)

n 21

s 2 n 1 s ( s n j d )( s n j d ) 0 1 2 1) 0< <1时： d s n -1 -1 1 -1 L [ ] xo (t ) L [ ] L [ ] 2 2 2 ( s ) 2 2 1 s ( s n ) d n dxo (t ) 1 e nt (cos d t 1 e nt 1 2

t(sec)

1 2

sin d t )1 2 )

sin( d t arctan

角频率为有阻尼固 有频率的减幅振荡

2 n 1 1 s X o ( s) 2 2 2 2 s n s s s n xo (t ) 1 co …… 此处隐藏：1445字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……