【步步高】2012届高考数学二轮复习 专题二 第3讲平面向量

【步步高】2012届高考数学二轮复习

第3讲 平面向量

(推荐时间：60分钟)

一、填空题

1．(2011·辽宁改编)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________. 2．(2011·北京)已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k3)．若a－2b与c共线，则k＝________.

3．已知向量a＝(1,3)，b＝(3，n)，若2a－b与b共线，则实数n的值是________． 4．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝13，则|b|＝________.

2π

5．(2011·江苏)已知e1，e2是夹角为a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b

3＝0，则实数k的值为________．

6．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|＋|b|＋|c|的值是________．

7．已知向量a＝(2cos α，2sin α)，b＝(2cos β，2sin β)，且直线2xcos α－2ysin α＋1＝0与圆(x－cos β)＋(y＋sin β)＝1相切，则向量a与b的夹角为________．

8．(2011·安徽)已知向量a、b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．

2

2

2

2

2

π 9．已知向量a＝(sin x,1)，b＝(t，x)，若函数f(x)＝a·b在区间 0， 上是增函数，

2

则实数t的取值范围是__________．

10.函数y=tan

x (0<x<4)的图象如图所示，A为图象与x轴

2 4

的交点，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则

OB OC OA=________．

B为两切点，那么PB PA的最小值为________．

11.(2010·全国Ⅰ)已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、

π

12．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为.以a，b为邻边作平行

3

四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．

二、解答题

13．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求a与b的夹角；

(2)求|a＋b|；

→→

(3)若AB＝a，AC＝b，求△ABC的面积. 14.已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)．

π→→ (1)若AC·BC＝－1，求sin α的值； 4

→→

(2)]O为坐标原点，若OA OC13，且α∈(0，π)，求OB与OC的夹角．

用心 爱心 专心 - 1 -

【步步高】2012届高考数学二轮复习

15．已知向量a＝(3sin 3x，－y)，b＝(m，cos 3x－m) (m∈R)，且a＋b＝0.设y＝f(x)．

(1)求f(x)的表达式，并求函数f(x)在 π2π 189

上图象最低点M的坐标； (2)若对任意x∈ π

0，9 ，f(x)>t－9x＋1恒成立，求实数t的范围．

案

1．12 2.1 3.9 4.4 5.5

4

6．π38.π

3

9．[－1，＋∞) 10．8 11．－3＋2 12.3

13．解 (1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，

得4|a|2－4a·b－3|b|2

＝61， ∵|a|＝4，|b|＝3， 代入上式得a·b＝－6，

∴cos θ＝a·b|a||b|－61

4×32

又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.

(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32

＝13， ∴|a＋b|13.

(3)由(1)知∠BAC＝θ＝120°， AB ＝|a|=4, AC

= |b| =3,

∴S=1 AB AC sin∠BAC1

ABC314 ．(1) 2

AC 23.

＝(cos α－3，sin α)， BC

＝(cos α，sin α－3)， AC BC

＝(cos α－3)·cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，

得sin2

α＋cos2

α－3(sin α＋cos α)＝－1，

所以sin π

α＋4 2 3. (2)因为 OA OC

＝13，

所以(3－cos α)2

＋sin2

α＝13，

所以cos α＝－1

2

，

因为α∈(0，π)，所以α＝2π3sin α＝3

2，

所以C 1

3 －2，2

，

所以 OB OC 3

2

，

设→OB与→

OC的夹角为θ，则cos =OB OC

3OBOC

＝2

因为θ∈(0，π)，所以θ＝π

6

15．解 (1)因为a＋b＝0，

用心 爱心 专心

- 2 -

答

【步步高】2012届高考数学二轮复习

即

3sin 3x＋m＝0， －y＋cos 3x－m＝0，

消去m，得y＝3sin 3x＋cos 3x，

π 即f(x)3sin 3x＋cos 3x＝2sin 3x＋6

， 当x∈ π2π 18，9π

时，3x＋ π5π6∈ 36 ，

sin 3x＋π6 ∈ 1 2，1 ， 即f(x)的最小值为1，此时x2π

9.

所以函数f(x)的图象上最低点M的坐标是

2π 9，1

.

(2)由题，知f(x)>t－9x＋1，

即2sin π

3x＋6 ＋9x>t＋1， 当x∈ 0，π9 时，函数f(x)＝2sin π

3x＋6 单调递增，y＝9x单调递增，

所以g(x)＝2sin 3xπ6 ＋9x在 π 0，9 上单调递增， 所以g(x)＝2sin π 3x6 ＋9x的最小值为1， 为要2sin 3x＋π6 ＋9x>t＋1在任意x∈ π

0，9 上恒成立，只要t＋1<1，即t<0. 故实数t的范围为(－∞，0)．

用心 爱心 专心 - 3 -