探究含参数导数问题

探究含参数导数问题

在高考中函数知识占有极其重要的地位，是高考考查数学思想、数学方法、能力和素质的主要阵地．而含参数的导数问题是近年来高考的难点和热点，此类问题通常涉及最值和恒成立问题，要求学生在求解中重视分类讨论、数形结合、分离参数等基本思想的运用．

一、含参恒成立问题 (一)类型一：可以分离参数，转化为最值问题

例1已知a R，函数f x x（1）若函数f x 在区间 0,

例2已知函数f(x) x2 2alnx a R且a 0 若f(x)在定义域上为增函数，求实数a的取值范围.

（二）类型二：数形结合，利用二次方程根的分布问题来处理

例已知函数f x x ax bx，若y f x 的导数f x 对x 1,1 都有f x 2,

3

2

2

x a ．

2

内是减函数，求实数a的取值范围； 3

求

b

的取值范围. a 1

（三）类型三：利用Δ来处理

1

e

例(2011·安徽)设f(x)＝2a为正实数． 若f(x)为R上的单调函数，求a的取

1＋ax值范围．

二、函数图象交点问题

函数图象交点问题也是一类比较常见的题型，而对于这类交点问题我们通常转化为方程的根来处理，最后利用最值来求参数取值范围。

例已知函数f(x)=－x+8x,g(x)=6lnx+m

（Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);

（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？ 若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。

三、分类讨论问题

导数是研究函数图像和性质的重要工具，自从导数进入高中数学教材以来，有关导数问题是每年高考的必考试题之一。随着高考对导数考查的不断深入，含参数的导数问题又是历年高考命题的热点。由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论，因而它也是绝大多数考生答题的难点，具体表现在：他们不知何时开始讨论、怎样去讨论。 （一）求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。

例(2012广州二模文)已知函数f x lnx （1）求函数f x 的单调区间;

（二）求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实

2

2

x

12

ax x，a R. 2

根是否落在定义域内，从而引起讨论。

例2 (2008高考浙江卷理科)已知a是实数，函数f

x （Ⅰ）求函数f x 的单调区间；

（Ⅱ）设g a 为f x 在区间 0,2 上的最小值。

（i）写出g a 的表达式；（ii）求a的取值范围，使得 6 g a 2。

（三）求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

例（2012广州一模文）已知函数f(x) x ax b a,b R ．求函数f(x)的单调递

3

2

x a

增区间；

以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。但我们发现上述分类讨论都是在整个定义域内进行的，还有一类是在给定的某个区间内进行分类讨论的。对于这类问题，我们要先清楚在整个定义域内的单调性，然后在看在这个区间内的。 （四）在给定的区间内进行 例已知a R，函数f(x)

不等式恒成立的证明

3

a

（1）求函数f(x)在区间 0,e 上的最小值； lnx 1．

x

x2x2

ln(1 x) x 例7、证明不等式x x (0, )（相减） 22(1 x)

小结：若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，往往构造函数，借助于函数的单调性来证明

变式练习：证明不等式：x sinx tanx x x (0,

作业：1、（2010全国卷2理数）（22）（本小题满分12分） 设函数f x 1 e．

x

2

)

（Ⅰ）证明：当x＞-1时，f x （Ⅱ）设当x 0时，f x

4

x

； x 1

x

，求a的取值范围． ax 1

2． 已知函数f x x ax bx c在 ,0 上是减函数，在 0,1 上是增函数，函

3

2

数f x 在R上有三个零点，且1是其中一个零点．

（1）求b的值；

（2）求f 2 的取值范围；

（3）试探究直线y x 1与函数y f x 的图像交点个数的情况，并说明理由．

从以上诸例不难看出，在对含参数的导数问题的讨论时，只要把握以上四个基本讨论点，那么讨论就有了方向和切入点，即使问题较为复杂，讨论起来也会得心应手、层次分明，从而使问题迎刃而解。分类讨论方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”

函数与导数在高考试卷中形式新颖且呈现出多样性，既有选择题、填空题，又有解答题．通过本文可以看出导数中含参数问题的常见题型与解题策略。我们在复习的时候解决该类问题要注意函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的应用．综合考查学生分析问题、解决问题的能力和数学素养．

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