第二节 边缘分布

3.2

边缘分布

一、边缘分布函数 二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘分布 四、小结

一、边缘分布函数义 定设F ( x, y) = P{ X ≤ x, Y ≤ y}为随机变量( X , Y )的分布函数, 令 y → +∞, 称F ( x, +∞) = P{ X ≤ x, Y < +∞} = P{ X ≤ x}, 为随机变量( X , Y )关于X的边缘分布函数.记为 FX ( x),即FX ( x) = F ( x, +∞).

同理令 x → +∞,FY ( y ) = F (+∞, y ) = P{ X < +∞, Y ≤ y} = P{Y ≤ y}关于Y 为随机变量 ( X,Y )关于 的边缘分布函数 关于 的边缘分布函数.

二、离散型随机变量的边缘分布律义 定律为 记 设二维离散型随机变量 ( X , Y )的联合分布 P { X = x i , Y = y j } = pij , i , j = 1,2, . pi = ∑ pij = P { X = x i }, i = 1,2, ,j =1 ∞ ∞

p j = ∑ pij = P {Y = y j },i =1

j = 1,2, ,

分别称 pi ( i = 1,2, ) 和 p j ( j = 1,2, ) 为 ( X , Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律 .

Y

X

x1

x2

xi

y1 y2 yj

p 11 p 12 p1 j

p 21 p 22 p2 j

p i1 pi2 p ij

∞

P { X = xi } =

∑1 p ij , i = 1, 2 , ; j=∞

P{Y = y j } = ∑ pij , j = 1,2, .i =1

已知(X, Y)的分布律，求其边缘分布律 的分布律， 例1 已知 的分布律 求其边缘分布律.

Y

X0 1

012 42 12 42

112 42 6 42

解

Y

X0 1

012 42 + 12 42

1+ +12 42 + 6 42

pi = P{X = xi }注意 联合分布

4 7

3 7

p j = P{Y = yj } 4 7 3 7 1边缘分布

三、连续型随机变量的边缘分布义 设连续型随机变量 ( X , Y )的概率 定 密度为 f ( x, y ), 由于FX ( x ) = F ( x, +∞ ) = ∫ [ ∫ ∞ x +∞ ∞

f (u , v ) dv ]du ,

记

f X ( x) = ∫

+∞

∞

f ( x, v ) dv = ∫

+∞

∞

f ( x, y ) dy ,

称其为随机变量 ( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度.

同理可得 Y 的边缘分布函数

FY ( y ) = F ( +∞, y ) = ∫ [ ∫ ∞

y

+∞

∞

f (u , v ) du ]dv,

fY (y) = ∫

+∞

∞

f (x, y)dx

Y 的边缘概率密度 的边缘概率密度.

例2 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度 6, x 2 ≤ y ≤ x, f ( x, y ) = 0, 其它. 求边缘概率密度 f X ( x), fY ( y ).

解 当 0 ≤ x ≤ 1 时,f X ( x) =

yy= x

(1,1)

∫

+∞

∞

f ( x , y )dy

=

∫

x x2

y = x2

6 dy2

O

x

= 6( x x ).

y当 x < 0 或 x > 1时,y= x

(1,1)

f X ( x) = ∫

∞

∞

f ( x , y )dy = 0.

y = x2O

x

因而得

6( x x 2 ), 0 ≤ x ≤ 1, f X ( x) = 其它. 0,

当 0 ≤ y ≤ 1 时,fY ( y ) =

∫

∞

yy= x

(1,1)

∞y

f ( x , y )dx

=

∫

y

6 d x = 6( y y )O

y = x2x

= 6( y y ).

当 y < 0 或 y > 1时,

fY ( y ) = ∫

∞

∞

f ( x , y )dx = 0.

6( y y ), 0 ≤ y ≤ 1, 得 fY ( y ) = 其它. 0,

例4 设二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为f ( x, y) = 1 2π σ1σ2 1 ρ2

1 ( x µ1 )2

( x µ1 )( y µ2 ) ( y µ2 )2 exp 2ρ + 2 2 2 σ1 σ2 σ2 2(1 ρ ) σ1

∞ < x < ∞, ∞ < y < ∞,其中 µ1 , µ2 , σ1 , σ 2 , ρ 都是常数 , 且 σ1 > 0, σ 2 > 0, 1 < ρ < 1.

试求二维正态随机变量 的边缘概率密度 .

解

f X ( x) = ∫

∞

∞

f ( x, y ) d y ,

( y µ2 )2 ( x µ1 )( y µ2 ) 由于 2ρ 2 σ2 σ 1σ 2

y µ2 ( x µ1 )2 x µ1 , = ρ ρ2 2 σ1 σ1 σ2于是 f X ( x) =1 2πσ1σ 2 1 ( x µ1 ) 22 2 σ1

2

ρ2

e

∫

∞

∞

e

x µ1 1 y µ2 ρ 2(1 ρ ) σ 2 σ1

2

dy ,

1 y µ2 x µ1 , 令 t= ρ 2 σ1 1 ρ σ2

则有

1 f X ( x) = e 2π σ1

( x µ1 )22 2 σ1

∫

∞

∞

e dt ,

t2 2

即 同理可得

1 f X ( x) = e 2πσ1

( x µ1 )22 2 σ1

, ∞ < x < ∞.

1 fY ( y ) = e 2π σ 2

( y µ2 )22 2σ2

, ∞ < y < ∞.

二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布, 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布

且 不 赖 参 并 都 依 于 数ρ.

当 仅 ρ = 0时 f (x, y) = fX (x) fY (y). 且 当 ,

请同学们思考 边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分 边缘分布均为正态分布的随机变量 其联合分 布一定是二维正态分布吗? 布一定是二维正态分布吗 答 不一定. 举一反例以示证明 不一定 举一反例以示证明.

令 ( X , Y ) 的联合密度函数为 1 f ( x, y ) = e 2πx2 + y 2 ) ( 2

(1 + sin x sin y ),

显然, ( X , Y ) 不服从正态分布, 但是 1 f X ( x) = e 2π x2 2

,

1 fY ( y ) = e 2π

y2 2

.

因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合 因此边缘分布均为正态分布的随机变量 其联合 分布不一定是二维正态分布. 分布不一定是二维正态分布

四、小结1.离散型随机变量的边缘分布律 1.离散型随机变量的边缘分布律

义 设二维离散型随机变量 ( X , Y )的联合分布 定律为∞ j =1 ∞

P { X = x i , Y = y j } = pij , i , j = 1,2, .

pi = ∑ pij = P { X = x i }, i = 1,2, , p j = ∑ pij = P {Y = y j },i =1

j = 1,2, ,

分别称 pi ( i = 1,2, ) 和 p j ( j = 1,2, ) 为 ( X , Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律 .

2.连续性随机变量的边缘分布 连续性随机变量的边缘分布FX ( x ) = F ( x, ∞ ) = ∫ [ ∫ ∞ x ∞ ∞

f (u , v ) dv ]du.

f X ( x) = ∫

∞

∞

f ( x, y )dy.y ∞ ∞ ∞

FY ( y ) = F (∞, y ) = ∫ [ ∫

f (u , v ) du ]dv.

fY ( y ) = ∫

∞

∞

f ( x, y )dx.边缘分布

联合分布

备份题

e y , 0 < x < y, 例1 设 ( X , Y ) ~ f ( x , y ) = 其它. 0, 求 (1) f X ( x ); (2) P{ X + Y ≤ 1}.

解 当x > 0时, 时

f X ( x) = ∫当 x ≤ 0 时,

∞

∞

f

( x , y )dy =∞ ∞

∫

∞

x

e y dy = e x .y y= x

f X ( x) = ∫

f ( x , y )dy = 0.

故

e x , f X ( x) = 0,

x > 0, 其它.O

x

( 2) P{ X + Y ≤ 1}

y1

y= xy = 1 x

=

x + y ≤1

∫∫

f ( x, y )dxdy1 x

= ∫ dx ∫1 2 0

1 2 0

O

x

e dy 1 2

y

12

x

= ∫ [e (1 x ) e x ]dx = 1 + e 1 2e . e y , 0 < x < y, f ( x, y ) = 其它. 0,

例2 一整数 N 等可能地在 1,2,3, ,10 十个值中取

一个值 . 设 D = D( N ) 是能整除 N 的正整数的个数 , F = F ( N )是能整除 N的素数的个数 .试写出 D 和 F 的联合分布律 .并求边缘分布律 . 解样本点D F

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 2 0 1 2 13 1

2 1

4 2 2 1

4 1

3 1

4 2

由此得 D 和 F 的联合分布律与边缘分 布律 :