《量子力学导论》习题答案(曾谨言版,北京大学)1

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自己收藏的希望能够给大家带来帮助 第一章 量子力学的诞生

,x 0,x a

1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动， V(x)

0,0 x a

试用de Broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。

解：据驻波条件，有 a n

2

(n 1,2,3, )

2a/n （1）

又据de Broglie关系 p h/ （2） 而能量

E p2/2m 2/2m 2

h2n2 2 2n2

2m 4a22ma2

n 1,2,3,

（3）

1.2设粒子限制在长、宽、高分别为a,b,c的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为x,y,z轴方向，把粒子沿x,y,z轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有

p

x

dx nxh,

nx

1,2,3,

即 px 2a nxh （2a：一来一回为一个周期）

px nxh/2a,

同理可得， py nyh/2b, pz nzh/2c,

nx,ny,nz 1,2,3,

粒子能量 Enxnynz

1 2 2222 (px py pz) 2m2m

nx,ny,nz 1,2,3,

222 nxnynz

a2b2c2

1.3设质量为m的粒子在谐振子势V(x) 提示：利用 p dx nh,

1

m 2x2中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。 2

p 2m[E V(x)] V()

n 1,2, ,

解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为 x a （1）

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其中a由下式决定：E V(x)x a 由此得 a

1

m 2a2。 a 0 a x 2

2E/m 2 ， （2）

x a即为粒子运动的转折点。有量子化条件

p dx 2

dx 2m a

2m a2

得a

2

2

m a2 nh

nh2 n

（3） m m

代入（2），解出 En n ,

n 1,2,3, （4）

ua2u22

a udu a u arcsin c

22a

2

2

积分公式：

2

1.4设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。 提示：利用

2

p d nh,n 1,2, , p 是平面转子的角动量。转子的能量E p /2I。

解：平面转子的转角（角位移）记为 。

它的角动量p I （广义动量），p 是运动惯量。按量子化条件

.

2

p dx 2 p

mh,m 1,2,3,

因而平面转子的能量

p mh，

2

Em p /2I m2 2/2I，

m 1,2,3,

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第二章 波函数与Schrödinger方程

2.1设质量为m的粒子在势场V(r

)中运动。

（a）证明粒子的能量平均值为 E

d3

r ，

2

2m

* *V （能量密度）

（b）证明能量守恒公式 w t s 0 2 *s 2m * t t （能流密度）

证：（a）粒子的能量平均值为（设 已归一化）

2E *

2 2m V d3

r T V （1）

V d3r *V （势能平均值） （2）

T d3

r *

22

2m

(动能平均值) 22m

d3r * *

其中T的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。 2T 2m

d3r * （3） 结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度 2

2m

* *V , （4） 且能量平均值 E

d3

r 。

（b）由（4）式，得

2

...

t 2m

* V *V t t

t t

2 .2m . * . .2 2* .

t t t t V *V

t t

. 2 .

s 22 * t 2m 2

V t 2m V

s E . .

*

t t

因此

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s E （ ：几率密度）

t

s （定态波函数，几率密度 不随时间改变）

所以

w

s 0 。 t

2.2考虑单粒子的Schrödinger方程

22

i r,t r,t V1 r iV2 r r,t （1） t2m

V1与V2为实函数。

（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。

（b）证明粒子在空间体积 内的几率随时间的变化为

2V2d 3***

dr dS dt 2imS

3*

dr

证：（a）式（1）取复共轭， 得

* 22*

V1 iV2 * （2） i

t2m

* （1）- （2）,得

* 2*2

i 2 * 2i *V2 t2m

2

* * 2iV2 *

2m

2V *

* * 2 * （3） t2im

2V2 j 0 ， 即 t

此即几率不守恒的微分表达式。

（b）式（3）对空间体积 积分，得

23***33*dr dr drV 2 t 2im

2**3*

dS drV 2 2imS

上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积 的几率（j dS ） ，而第二项代表体积 中“产

生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。

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