第二章工程信号技术分析与处理 随机数据的数字特征

工程信号技术分析与处理 随机数据的数字特征

2.1. 随机过程的描述 

1. 随机过程的概念 

随机过程：考察各测量样本固定时刻t t0在t0时刻的值

工程信号技术分析与处理 随机数据的数字特征

x1(t0)，x2(t0)，……，xn(t0)构成随机变量，具有自身的概率特性，

记为X(t0)。在数学上把所有已经得到的和未得到的而可能发生的样本总体{xi(t0)}(t=1,2,3,……)称为随机过程，记为X(t)。随机过程具有双向无穷特征，即在时间轴上无穷，又在样本数上无穷。 

2. 随机过程的统计规律 (1). 一维概率分布特征 

设一随机变量X(t)在某一时刻ti的随机变量X(t)的取值小

i

于等于给定值x(x X(t)),这一事件发生的概率定义为： 

工程信号技术分析与处理 随机数据的数字特征

F1(x;ti) Prob[X(ti) x],x X(t) 

X(t)的一维概率密度函数f1(x;ti)定义为F1(x;ti)对x的一阶偏

导数，即： 

F1(x;ti)

f1(x;ti)   x

(2). 多维概率分布特征 

二维概率分布特征随机过程X(t)在ti时刻的随机变量

X(ti) xi；而且在tj时刻的随机变量X(tj) xj，这两件事同时发生

的概率定义为二维概率分布特征： 

工程信号技术分析与处理 随机数据的数字特征

F2(xi,xj;ti,tj) Prob[X(ti) xi,X(tj) xj] 

二维概率密度函数为对xi,xj的二阶偏导数，即： 

f2(xi,xj;ti,tj)

F2(xi,xj;ti,tj)

xi xj

2

三维、四维，……直至n维可以以此类推 

实际应用中，要确定随机过程的各维概率分布函数及密度函数非常困难。 3. 随机过程的统计特征量 (1). 均值mx(t) 

工程信号技术分析与处理 随机数据的数字特征

也就是随机过程的数学期望，度量过程随机变动的平均值 

mx(t) E[X(t)] xf1(x;ti)dx 

由于X(t)在不同时刻的一维概率密度函数f1(x;t)是对时间t的函数，故均值mx(t)亦随时间而变。 

2 x(2). 方差(t) 

是表征随机变量围绕均值变动的幅度 

x(t) E[X(t) mx(t)] [x mx(t)]f1(x;t)dx 

2

2

(3). 自相关函数是度量随机变动时，时刻ti,tj之间数值上的相关

工程信号技术分析与处理 随机数据的数字特征

关系。 

取不同时刻的随机变量X(ti)，X(t) 

j

Rx(ti,tj) E[X ti X tj ]

xixjf2(xi,xj;ti,tj)dxidxj 

(4). 互相关函数 

表征两个随机过程X(ti)，Y(tj)在不同时刻的相关程度 

Rxy(ti,tj) E[X ti Y tj ]

xyf(x,y;t,t)dxdyij2ijijij 

工程信号技术分析与处理 随机数据的数字特征

2.2. 随机过程的平稳性和各态历经性 

1. 平稳性概念 

在上述讲述中，一般情况下随机过程的概率分布函数、概率密度函数和数字特征均随时间而变，称为非平稳过程。而在实践中，经常存在一类概率特性不随时间而变的随机过程，即在不同时刻的随机变量具有相同的各维概率分布特性，称这类随机过程为平稳过程。其中，若仅存在一维、二维概率特性与时间无关的随机过程，称宽平稳过程，否则称为严平稳过程。

工程信号技术分析与处理 随机数据的数字特征

数学上： 

f1(x;t) f1(x;t t) f1(x) 

f2(xi,xj;ti,tj) f2(xi,xj;ti ti,tj tj) f2(xi,xj; ) 

tj ti为两起始时刻的间隔（时延） 

在工程中 

mx(t) E[X(t)] mx=constant 

Rx(ti,tj) Rx( )仅与时延有关 

2. 各态历经性 (1). 两种平均的概念 

工程信号技术分析与处理 随机数据的数字特征

A. 幅值概率平均 

mx E[X(t)] 

Rx( ) E[X ti X tj ] 

B. 样本时间平均 

mx 1T

Tlim T 0

x(t)dt

 R1T T T

x lim0

x(t)x(t )dt (2). 各态历经性 

实践中，还存在这样一类平稳随机现象，它在随机变动过

工程信号技术分析与处理 随机数据的数字特征

程中不同次试验所可能出现的各种状态（量值），可以在一次足够长时间的记录（样本）上出现。当然，对于这类随机过程总体X(t)的统计分析，可以通过对X(t)的任一足够长样本的分析来判断。具有这种特点的随机过程称为各态历经过程（又称遍历过程） 

如果宽平稳过程满足： 

1T

mx mx lim x(t)dt 

T T0

1T

Rx Rx lim x(t)x(t )dt T T0

工程信号技术分析与处理 随机数据的数字特征

称为弱各态历经过程。 

如果包括均值和相关函数在内的各维数字特征均具有与上述类似的特点，则称为强各态历经过程。 

研究实际工程问题时，既不可能获得时间上无限长的样本，也不可能得到无限多的全部样本，只能从少数几个有限时间长度的试验记录中来推断总体X(t)的概率特性。因此，宽平稳过程和弱各态历经过程的概念对分析工程上的随机现象是有重要的指导意义。一般情况下，只有在满足宽平稳和弱各态历经的条件下，试验数据的处理结果才能表征工程随机现象的

工程信号技术分析与处理 随机数据的数字特征

总体本质规律，幸好工程上研究的随机现象多数能满足或都假设 …… 此处隐藏：356字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……