成才之路数学必修四1-2-1

成才之路数学必修四

基本初等函数(II) 第一章 基本初等函数(II)

1.2

任意角的三角函数 三角函数的定义

1.2.1 .

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基本初等函数(II) 第一章 基本初等函数(II)

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基本初等函数(II) 第一章 基本初等函数(II)

1.三角函数的定义 设α是一个任意大小的角，以α的顶点O为坐标原点， 以α的始边的方向作为x轴的正方向，建立平面直角坐标系 xOy,α的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点的距 离是r,如图. 则我们定义：人 教 B 版 数 学

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基本初等函数(II) 第一章 基本初等函数(II)

y x y sinα= ,cosα= ,tanα= . r r x r r x secα= x ,cscα= y ,cotα y .

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2.三角函数的定义域三角函数 sinα cosα tanα secα cotα cscα 定义 x y sinα= cosα= r r y r tanα= secα= x x x r cotα= cscα= y y 定义域 R π α|α≠ +kπ,k∈Z 2 人 教 B 版 数 学

{α|α≠kπ,k∈Z}

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基本初等函数(II) 第一章 基本初等函数(II)

重点：任意角三角函数的定义与正弦、余弦、正切函 数的定义域，三角函数值在各象限的符号. 难点：正切函数的定义域及应用三角函数的定义求三 角函数值. 1.由定义可知，这六个比值的大小与终边上所取的点 的位置无关，只与角α的大小有关，即它们都是以角为自变 量，以比值为函数值的函数.另外，还应注意到此处定义 三角函数的方法是坐标法，要与初中所学的在直角三角形 中的定义相统一.人 教 B 版 数 学

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角与实数及三角函数值的对应关系如图(注意在定义域 内).

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这样，三角函数就像前面研究的其他基本初等函数一 样，都是以实数为自变量的函数了. 另外，由于圆心角与它所对的弧之间也是一一对应的 关系，因而三角函数又可以看成是以弧为自变量的函数， 这样就使三角函数具有更广泛的意义.

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2.应用定义求三角函数值的步骤：2 在角 α 的终边上取一点 P(x0,y0),计算|OP|= x0+y2, 0

然后据定义式求出 α 的三角函数值.

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基本初等函数(II) 第一章 基本初等函数(II)

3.三角函数值在各象限的符号 三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内的 y 坐标符号导出的. 根据三象函数的定义得知(即 sinα= , cosα r x y x r r = ,tanα= ,cotα= ,secα= ,cscα= ):正弦和余割的 r x y x y 符号决定于纵坐标

y 的符号；余弦和正割的符号决定于横坐 标 x 的符号；正切和余切的符号决定于纵坐标 y、横坐标 x 同号为正，异号为负，各三角函数值在每个象限的符号见下 图.人 教 B 版 数 学

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即一全正、二正弦、三两切、四余弦、余割同正弦、 正割同余弦. 三角函数值的符号是学习三角函数及三角函数的化简、 求值、证明等问题中一个很重要、也是极易出错的地方， 因此从一开始学习就要学扎实、记牢固.

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基本初等函数(II) 第一章 基本初等函数(II)

[例1]

若点P(2m,-3m)(m<0)在角α的终边上，则 可以根据点P的坐标得一直角三角形，然后利人 教 B 版 数 学

sinα=________,cosα=________,tanα=________. [解析] 用任意角三角函数的定义求解.如图所示，点 P(2m,-3m)(m<0)在第二象限，过点 P -3m -3m 作 x 轴的垂线，则 r=- 13m,故有 sinα= = r - 13m 3 13 2m 2m = ,cosα= = 13 r - 13m -3m 3 2 13 =- 13 ,tanα= 2m =-2.

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3 13 [答案] 13[点评]

2 13 - 13

3 - 2人 教 B 版 数 学

(1)要清楚点 P(2m,-3m)(m<0)所在象限.

(2)由 m<0,得 r= (2m)2+(-3m)2=- 13m,这点 必须注意.

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基本初等函数(II) 第一章 基本初等函数(II)

已 知 角 α 的 终 边 过 点 P( - 3cosθ , 4cosθ) , 其 中 π θ∈ 2,π ,求

α 的正弦、余弦、正切.

[解析]

π ∵θ∈ 2,π ,∴cosθ<0.

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∴r= 9cos2θ+16cos2θ=5|cosθ|=-5cosθ. 4 3 4 ∴sinα=- ,cosα= ,tanα=- . 5 5 3

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