12.2数学分析精品课程

数学分析

§12.2 正项级数

湖南人文科技学院

数学分析

要求：掌握正项级数敛散性判断方法。 记住p-级数的敛散性结论。

要点：比较判别法，比式判别法，根式判别法。

湖南人文科技学院

数学分析

一、正项级数收敛性的一般判别原则1. 正项级数的定义若数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数。 对于同号级数，只须研究 各项都是由正数组成的级 数——称为正项级数。 如果级数的各项都是负数，则它乘以-1后就得到一

个正项级数，它们具有相同的敛散性。湖南人文科技学院

数学分析

2、正项级数收敛性的一般判别原则显然正项级数的部分和数列是单调递增的，由 单调有界定理，得到:

定理1

正项级数u1 u2 un

收敛的充要条件是：部分和数列 { S n } 有界，即存在某 正数 M ,对一切自然数 n 有 S n M 。

湖南人文科技学院

数学分析

例如

1 级数 n! n 1

1 1 1 1 n 1 n! 1 2 3 n 1 2 2 2 2

从而1 1 1 1 1 1 S n 1 1 2 n 1 2 2 2 2! 3! n! 2

即部分和有界，该正项级数收敛。

湖南人文科技学院

数学分析

定理2(比较原则)设 un 和 v n 是两个正项级数，如果存在某正 数 N,对一切 n N 都有un v n(1)

那么

vn 收敛，则级数 un 也收敛； ( ii) 若级数 un 发散，则级数 v n 也发散。( i ) 若级数湖南人文科技学院

数学分析

例1 讨论p-级数

n p 1 2 p 3 p n p n 1

1

1

1

1

的敛散性(p>0).解： (1)当 p 1 时，级数为调和级数，发散； (2)当 p 1 时，有1 p n n 1

由比较原则知级数发散。湖南人文科技学院

数学分析

(3)当 p 1 时，由右图可知1 np

y1 ( p 1) xp

n

dx xpo

n 1

y

则Sn 1 1 2p

1n

2

3

4

x

1 x n 1 x p n n dx 1 1 1 1 p 1 (1 p 1 ) 1 1 x p 1 p 1 n

1 3p

1p

1

2

dxp

dx

即 S n 有界， 则级数收敛.

湖南人文科技学院

数学分析

结论：P-级数

n p ( p 0)n 1

1

当 p 1 时，级数收敛，

当 p 1 时，级数发散。

重要参考级数： 几何级数，p-级数.

湖南人文科技学院

数学分析

例2 判断下列级数的敛散性：

( 1)

1 n(n 1)1 n( n 1)1 n2 1 2

n 1

2

( 2) 3n 1

1 n2 11

解： ( 1)

1

1 n32

,且

32 n n 1

收敛， 故级数收敛。

( 2) 3

n

23

,且

n 2 3 发散， 故级数发散。n 1

1

湖南人文科技学院

数学分析

推论 设和 是两个正项级数,若 则 同时

发散；

u1 u2 un v1 v 2 v n

( 2)

( 3)

un lim l n v n

(4)

( i ) 当 0 l 时，级数(2)、(3)同时收敛或( ii) 当 l 0 且级数(3)收敛时，级数(2)也收敛；

( iii) 当 l 且级数(3)发散时，级数(2)也发散。

湖南人文科技学院

数学分析

例3 判定下列级数的敛散性： 1 1 ( 1) n (2) sin n 2 n 1 1 n 1 1 且 n 收敛 解： (1) lim 2 n lim 2 1 n n n 1 n n 2 2 级数收敛。1 sin n 1 (2) lim 且 1 n n

1 n 发散

级数发散。

湖南人文科技学院

数学分析

二、比式判别法与根式判别法设 un 为正项级数，且存在某自然数 N 0 及常数un 1 q unun 1 1 un

定理3(达郎贝尔判别法，或称比式判别法)q(0 q 1) 。

(1)若对一切 n N 0 ,成立不等式 则级数 un 收敛； (2)若对一切 n N 0 ,成立不等式 则级数 un 发散。

(5)

(6)

湖南人文科技学院

数学分析

推论(比式判别法的极限形式)若 un 为正项级数，且un 1 lim q n un(7)

则 (1)当 q 1 时，级数 un 收敛；u (2)当 q 1 或 q 时，级数 n 发散。

湖南人文科技学院

数学分析

例4 讨论级数

nx n 1 ( x 0) 的敛散性。

un 1 ( n 1) x n lim x 解： lim n 1 n un n nx

当 0 x 1 时级数收敛；

当 x 1 时级数发散； 当 x 1 时级数为 n,发散。 当 q 1 时，判别法失效。 1 1 例如，级数 2 与 。 n n湖南人文科技学院

注意：

数学分析

定理4(柯西判别法，或称根式判别法)设 un 为正项级数，且存在某自然数 N 0 及正常数 l( i ) 若对一切 n N 0 ,成立不等式

则级数 un 收敛；( ii) 若对一切 n N 0 ,成立不等式

nu n

l 1

(8)

则级数

un 1 un 发散。n

(9)

湖南人文科技学院

数学分析

推论(根式判别法的极限形式)若 un 为正项级数，且n

lim n un l

(10)

则 (1)当 l 1 时，级数 un 收敛； (2)当 l 1 时，级数 un 发散。

湖南人文科技学院

数学分析

例5 研究级数

3 ( 1)n 的敛散性。 n

n 3 ( 1 ) 1 n n lim un lim 1 解： n n n 2

级数收敛。

注意：

当 l 1 时，判别法失效。 1 1 例如，级数 2 与 。 n n

湖南人文科技学院

数学分析

三、积分判别法定理5数 散。 例6 讨论级数 解： 由于 设 f 为 [1, ) 上非负递减函数，那么正项级

f (n) 与非正常积分 1 f ( x)dx

同时收敛或同时发

ln 2 u p (ln x ) 当 p 1 时收敛，当 p 1 时发散

,

2

n 2

n(ln n) p 的敛散性。dxp

1

x (ln x )

d (ln x ) p

2

du

故级数当 p 1 时收敛，当 p 1 时发散。湖南人文科技学院