考研数学高数章节重点

第一章

第一节：函数 函数的四个性质：

1，有界性；无穷大、无界、无穷小之间的运算。（重点） 2，单调性；利用导数求单调性。

3，周期性，一般用定义来求；存在一个常数T，使得f(x) f(x T)。称T为一个周期。

4，奇偶性。一般用定义或者化为已知的周期函数来求；奇函数f( x) f(x)，偶函数

f( x) f(x)

第二节：极限

1，数列{an}极限的几种求法，

第一种方法是：定理——单调有界必有极限；

证明分两步，1，证明单调性，如果是增函数，则证明有上界；如果是减函数，则证明有下界。

第二种方法是：夹逼准则。

证明中要找到数列{bn}，{cn}，满足两条：1，bn an cn；2，limbn limcn a，

n

n

那么liman a。

n

2,，函数的极限的定义及求法，理解左右极限。 几个常用的极限 （1

）： 1；

n 0|q| 1

（2）：lim|q|n 1|q| 1；

n

|q| 1

0

bmxm bm 1xm 1 bx b0 bm

（3）limn 1x axn bx ax ann 10 an

：无穷小与无穷大

1，理解无穷大与无穷小之间的转换。

有限个无穷小之和、乘积都是无穷小。 有界量乘以无穷小是无穷小。 无穷大相乘是无穷大。

无穷大与无界相乘或相加都是无界。 第四节：极限的运算法则 设liman a，limbn b，则

n

n

m nm n m n

lim(an bn) a b；lim(anbn) ab；lim

n

n

ana

，其中bn 0,b 0。

n bbn

一定要分清楚什么时候求极限和的时候可以用求和的极限的区别。

第五节：极限存在法则，两个重要极限 1，lim

sinx

1，凡是在极限中出现了三角函数的，一定要想到这个公式。

x 0x

x

n

1

1 1

2:，lim 1 lim 1 x x lim 1 e，凡是在求极限中出现了幂指式的，一

x n

x x 0 n

律用这个公式。

第六节：无穷小的比较

在做题时以下八个等价无穷小可以直接使用，其他的不可以。 1，sinx x， 2，1 cosx

12

x， 2

3，tanx x 4，arcsinx x 5，arctanx x，

x

6，e 1 x

7，(1 x) 1 ax 8. ln(1 x) x

第七节：函数的连续性与间断点

1，连续函数的定义limf(x) f(x0)，左极限等于右极限等于该点的函数值；即

x x0

x x0

a

limf(x) limf(x) f(x0)，或者f(x0 0) f(x0 0) f(x0)

x x0

2，求单点的连续性，一律用定义来求，

3，间断点是按左右极限及该点的函数值来定义的

第一类间断点：左右极限都存在且相等但不等于该点的函数值，则为可去间断点。 即limf(x) A f(x0)

x x0

左右极限都存在但不相等，则为跳跃间断点；

f(x) A limf(x) B 即lim

x x0

x x0

第二类间断点：左右极限至少有一个不存在的。

判断间断点：只考虑两种情况下的点，1，无定义点，2，分段点。 第八节：连续函数的运算与初等函数的连续性。 1，连续函数的运算类似于极限的运算， 2.，初等函数在其定义域内都连续。 第九节：闭区间上的连续函数的性质。

四个定理：

1，最值定理，存在最大值与最小值；即存在x0 [a,b],M，使得任意的x [a,b]有 f(x) f(x0) M。

2，介值定理，存在一点x0，使得m f(x0) M，即小于最大值，大于最小值。 3，零点定理，如果f(a)f(b) 0，那么存在一点a x0 b，使得f(x0) 0。这个定理使用的最多，一般用于证明等式用。 4，极限与连续定理，用的比较少。

第一节：1，导数的概念

第二章 导数与微分

f(x0 x) f(x0)

存在 f'(x0)，则称f(x)在x x0处可导，

x 0 x

在这个定义中一定要理解什么是 x。

导数的定义，如果极限lim

可导一定连续，连续不一定可导。连续可导是指导函数连续，反例

f(x) |x|，在x 0时，则f(x)连续但不可导。

第二节： 函数的求导法则

会求六个初等基本函数的导数，遇到复合函数如果不熟练就要分解成初等基本函数。

f(x) f'(x)g(x) f(x)g'(x)

[fg]' f'g fg'，[f g]' f' g'， 2

g(x)(g(x))

'

y f(u),u g(x),y'|x f'(u)g'(x)。

第三节：高节导数

二阶及二阶以上的都称为高节导数。 二阶导数定义为：如果极限lim

x 0

f'(x x) f'(x)

存在，则称f(x)在x处二阶可导。

x

[fg]

(n)

i(n i)(i)

Cnfg。四阶及四阶以上的导数要打上小括号。即f(4)(x)。 i 0

n

第四节：隐函数及由参数方程所确定的函数导数，

x x(t)dydy1y'(t)

如果 ，则，

y y(t)dxdtx'(t)

dt

d dy dy'1 y'(t) 1y''(t)x'(t) y'(t)x''(t)

dx dx dt x'(t) x'(t)(x'(t))3

dt

'

要求掌握到二阶参数方程。

y f(x)，

第五节：函数的微分

理解 x,dx, y,dy,f'(x)之间的关系。

第三章，中值定理

第一节：微分中值定理 三大中值定理 （1），罗尔中值定理：

如果函数f(x)在闭区间[a,b]内连续，开区间(a,b)内可导，且f(a) f(b)，则存在一点

a b，使得：f'( ) 0。

（2），拉格朗日中值定理：

如果函数f(x)在闭区间[a,b]内连续，开区间(a,b)内可导，则存在一点a b，使得：

f(b) f(a) f'( )(b a)。

（3），柯西中值定理：

如果函数f(x),g(x)在闭区间[a,b]内连续，开区间(a,b)内可导，且g(x) 0，则存在一点a b，使得：

f(b) f(a)f'( )

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