2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式

2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式

教学目的：

1．掌握平面向量数量积的坐标表示和运算，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，掌握平面内两点间的距离公式．

(1) 根据向量的坐标计算它们的数量积，由数量积的坐标形式求两个向量的夹角．

(2) 运用向量垂直的坐标表示的充要条件解决有关问题，特别是运用坐标法证明两个向量垂直．

(3) 根据已知条件灵活运用平面内两点间的距离公式．

2．通过本节内容的研究学习，培养学生的动手能力和探索精神．

3．通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合思想，增强用两种方法——向量法与坐标法处理向量问题的意识．

教学重点：

平面向量数量积的坐标表示，及向量垂直的坐标表示的充要条件．

教学难点：平面向量数量积的两种形式的内在联系及有关知识的灵活运用． 教学过程：

一、设置情境，引入新课：

我们知道，向量的表示形式不同，对其运算的表达方式也会改变．向量的坐标表示，为我们解决向量的加、减、数乘向量带来了极大的方便，那么向量的坐标表示，对数量积的表达方式会带来哪些变化呢？本节课我们就来讨论这一问题．

二、新课：

1．复习回顾：

问题1：如何用向量的长度、夹角反映数量积？又如何用数量积、长度来反映夹角？

问题2：向量的运算律有哪些？ rr问题3：设x轴、y轴上的单位向量分别为i和j，则 rrrrrrrr① i i； ② j j； ③i j； ④j i．

2．平面向量数量积的坐标表示： rrrrrr已知a= (x1，y1

a、b的坐标表示a b呢？

类似可得：

3若设A(x1，y1)，

这就是A、B4．平面内两向量的夹角公式：

若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

cosa,b 5．几个基本结论：

请说出两个非零向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐标表示式．

6．例题分析： rrrr例1 设a= ( 3，4)，b= ( 4， 2)，求a b． rr解：a b= ( 3) ( 4) + 4 ( 2) = 4．

问：a、b的夹角多大？

(arccosrr)

例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C( 2，5)，求证： ABC是直角三角形． 分析：要证明三条边中有两条边互相垂直, 只需证明由三点所确定的向量中存在两个向量互相垂直． r

例3 求与向量a 1

的夹角为45 的单位向量．

分析：单位向量的模为1．可通过两次运算得方程．

三、小结： rrrrrr1．两向量的数量积有两种计算方法：a b= |a||b|cos ；a b= x1x2 + y1y2． 当已知两向量夹角时,一般用前一个公式；而当已知两向量的坐标时，一般用后一个公式．

2．用坐标表示的数量积公式，常用来计算两向量的夹角． rr3．两向量垂直时，在表达方式上有一定技巧，如a= (m，n)与b= (n， m)总是垂直的． rr4．把一平面向量单位化，有时能给讨论问题带来方便，比如求a在b方向rrurur的投影，不妨先把b单位化，为b0，则a b0就是所求答案．

四、巩固练习： uuuruuur1．设点A(1，2)，B(2，3)，C( 2，5)，则AB AC等于( B )

A． 1 B．0 C．1 D．2 rrrrrrr2．已知a= (2，1)，b= ( 1，3)，若存在向量c，使得a c= 4，b c= 9，r试求向量c的坐标．

提示：分类讨论．

解：① A = 90 时，k = 3；

② B = 90 时，k =3；

③ C = 90 时，k

=

五、课后作业： ．