数学：3.3.3《函数的最值与导数》课件(新人教A版选修1-1)

3.3.3 函数的最值与导数

极值反映的是函数在某一点附近的局部 性质,而不是函数在整个定义域内的性质。 但是我们往往更关心函数在某个区间上 哪个值最大，哪个值最小。

观察区间[a,b]上函数y=f (x)的图象， 你能找出它的极大值点，极小值点吗？

y

o ab c极大值点

d

e

f

g

h

x

极小值点 b d f ceg ,

你能说出函数的最大值点和最小值点吗？ 最大值点 ：a , 最小值点：d

图1

yy f (x)

函数y=f(x)在区间[a,b]上 最大值是f (a), 最小值是f (b).b

a

o

x

单调函数的最大值和最小值容易被找到。

图2

yy f (x)

a x1 x2 o x3函数y=f (x)在区间[a,b]上

x4

x5

b

x

最大值是f (x3), 最小值是f (x4).

一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f (x) 的图象是一条连续不断的曲线，那么 它必有最大值和最小值。

怎样求函数y=f (x)在区间[a ,b]内的最大值

和最小值？只要把函数y=f (x)的所有极值连同端点 的函数值进行比较即可。

例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0, 3]上的 最大值，最小值。

(-∞,-2) -2 + 0 f (x) f(x) 单调递增↗ 28 x

(-2,2) 单调递减 ↘y

2 0 4

(2,+∞) +单调递增↗

f ( x) x3 12x 12

2 -2 o

x

例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0,3]上的 最大值，最小值。

解：由上节课的例1知，在[0,3]上，当x=2时， f(x)=x3-12x+12有极小值， 并且极小值为f (2)=-4. 又由于f (0)=12,f (3)=3,

因此，函数 f(x)=x3-12x+12在[0, 3]上的最大值为12,最小值为-4。

求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的 步骤如下①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值 (极大值与极小值);

②将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(即 端点的函数值)作比较,其中最大的一个 为最大值,最小的一个为最小值.

练习1、求函数y=5-36x+3x2+4x3在区间[-2,2]上的最大值与最小值。 解： f (x ) =-36+6x+12x2=6(2x2+x-6) 令 f (x ) =0,解得x1=-2 , x2=1.5

因为f(-2)=57, f(1.5)=-28.75, f(2)=-23所以函数的最大值为57,最小值为-28.75

练习2、求函数f(x)=x3-3x2+6x-2在区间[-1,1]上的最值。 解：f (x ) =3x2-6x+6=3(x2-2x+2)

因为 f (x ) 在[-1,1]内恒大于0, 所以 f(x)在[-1,1]上是增函数，故当x=-1时，f(x)取得最小值-12; 当x=1时，f(x)取得最大值2。

例2、已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a; (1)求f(x)的单调递减区间； (2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20, 求它在该区间上的最小值。 解: (1) f (x ) =-3x2+6x+9令 f (x ) <0,解得x<-1或x>3 函数f(x)的单调递减区间为 (-∞,-1) ∪(3,+∞)

f

( x)

x3

3x 2

9x a

y

o

- 23 1

x