2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编专题6：由运动产生的线段和差问题

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专题6：由运动产生的线段和差问题

64. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与一直线相交于A （﹣1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．

（1）抛物线及直线AC 的函数关系式；

（2）设点M （3，m ），求使MN+MD 的值最小时m 的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；

（4）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值．

【答案】解：（1）由抛物线y=﹣x 2+bx+c 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得，

1b+c=04+2b+c=3--⎧⎨-⎩，解得b=2c=3⎧⎨⎩

。∴抛物线的函数关系式为2y x 2x 3=-++。 设直线AC 的函数关系式为y=kx+n ，

由直线AC 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得

k+n=02k+n=3-⎧⎨⎩，解得k=1n=1⎧⎨⎩

。 ∴直线AC 的函数关系式为y=x+1。

（2）作N 点关于直线x=3的对称点N′，

令x=0，得y=3，即N （0，3）。

∴N′（6， 3）

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- 2 -

由()2

2y x 2x 3=x 1+4=-++--得

D （1，4）。

设直线DN′的函数关系式为y=sx+t ，则

6s+t=3s+t=4⎧⎨

⎩，解得1s=5

21

t=5⎧

-⎪⎪⎨⎪⎪⎩

。 ∴故直线DN′的函数关系式为121y x 5

5

=-+

。

根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M （3，m ）在直线DN′上时，

MN+MD 的值最小，

∴1

2118m 3=555

=-⨯+

。

∴使MN+MD 的值最小时m 的值为185

。

（3）由（1）、（2）得D （1，4），B （1，2），

①当BD 为平行四边形对角线时，由B 、C 、D 、N 的坐标知，四边形BCDN

是平行四边形，此时，点E 与点C 重合，即E （2，3）。

②当BD 为平行四边形边时，

∵点E 在直线AC 上，∴设E （x ，x+1），则F （x ，2x 2x 3-++）。 又∵BD=2

∴若四边形BDEF 或BDFE 是平行四边形时，BD=EF 。 ∴()2x 2x 3x 1=2-++-+，即2x x 2=2-++。

若2x x 2=2-++，解得，x=0或x=1（舍去），∴E （0，1）。 若2x x 2=2-++-

，解得，x=

2，∴

E 22⎛

⎝⎭

或

E 2

2⎝

⎭

。 综上，满足条件的点E 为（2，3）、（0，1）

、22

⎛

⎝

⎭

、22⎝

⎭

。

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- 3 - （4）如图，过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ；过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，

设Q （x ，x+1），则P （x ，﹣x 2+2x+3）。

∴22PQ x 2x 3x 1x x 2=-++--=-++（）（）。 ∴APC APQ C PQ 1

S S +S PQ AG 2∆∆∆==⋅

2213127x x 23x 2228

=-++⨯=--+（）（）。 ∵3

02<-， ∴当1

x=2时，△APC 的面积取得最大值，最大值为27

8。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称的性质，三角形三边关系，平行四边形的判定和性质，二次函数的最值。

【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。

（2）根据轴对称的性质和三角形三边关系作N 点关于直线x=3的对称点N′，当M （3，m ）在直线DN′上时，MN+MD 的值最小。

（3）分BD 为平行四边形对角线和BD 为平行四边形边两种情况讨论。

（4）如图，过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ；过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，设Q （x ，x+1），则P （x ，﹣x 2+2x+3），求得线段PQ=﹣x 2+x+2。由图示以及三角形的面积公式知APC APQ C PQ S S +S ∆∆∆=，由二次函数的最值的求法可知△APC 的面积的最大值。

65. （2012湖北黄冈14分）如图，

已知抛物线的方程C 1:()()1y x 2(x m )m 0m =-+->与x 轴

相交于点B 、

C ，与y 轴相交于点E ，且点B 在点C 的左侧.

(1)若抛物线C 1过点M(2，2)，求实数m 的值．

(2)在(1)的条件下，求△BCE 的面积． (3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使BH+EH 最小，并求出点H 的坐标．

(4)在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似?若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．

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- 4 -

【答案】解：（1）∵抛物线C 1过点M(2，2)，∴()1222(2m )m =-

+-，解得m=4。

（2）由（1）得()1y x 2(x 4)4=-+-。 令x=0，得y 2=。∴E （0，2），OE=2。

令y=0，得()1

0x 2(x 4)4=-+-，解得x 1=－2，x=4。 ∴B （－2，，0），C （4，0），BC=6。

∴△BCE 的面积=1

6262

⨯⨯=。 （3）由（2）可得()1

y x 2(x 4)4=-+-的对称轴为x=1。

连接CE ，交对称轴于点H ，由轴对称的性质和两点之

间线段最短的性质，知此时BH+EH 最小。

设直线CE 的解析式为y kx+b =，则

4k +b =0b =2⎧⎨⎩，解得1k=2b=2⎧-⎪⎨⎪⎩

。∴直线CE 的解析式为1y x+22=-。 当x=1时，3

y 2=。∴H （1，3

2）。

（4）存在。分两种情形讨论：

①当△BEC ∽△BCF 时，如图所示。 则BE

BC

BC BF =，∴BC 2=BE•BF 。

由（2）知B （－2，0），E （0，2），即OB=OE ， ∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°。

作FT ⊥x 轴于点F ，则 …… 此处隐藏：4344字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……