1.4无穷小、无穷大、极限运算法则

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1.4无穷小与无穷大、极限运算法则一、无穷小(量)定义1 如果一个变量在某一变化过程中以零为极限 定义 如果一个变量在某一变化过程中以零为极限， 一个变量在某一变化过程中以零为极限，则称它为无穷小量，简称无穷小. 则称它为无穷小量，简称无穷小.

例如 ∵limsin x = 0, ∴函数sin x是当 x → 0时的无穷小.x→0

1 1 ∵lim = 0, . ∴函数 是当 x → ∞时的无穷小 x→∞ x x n ( 1)n ( 1) { }是当n → ∞时的无穷小 . ∵lim = 0, ∴数列 n→∞ n n

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注意： 注意： 1.无穷小是一个以零为极限的变量 不能理解很 无穷小是一个以零为极限的变量,不能理解很 无穷小是一个以零为极限的变量 小很小的数; 小很小的数例如： 是很小的数， 穷小量。 例如： 1010000000000 是很小的数，但不是无 穷小量。

2.零是可以作为无穷小的唯一的数. 零是可以作为无穷小的唯一的数 零是可以作为无穷小的唯一的 3.分析 f (x) 是否为无穷小一定要考虑自变 分析 变化过程.如 量 x 的 变化过程 如 x → 2时 x 2 是无穷 不是无穷小。 小，但 x → 3时，则 x 2 不是无穷小。 返回 返回

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无穷小的性质性质1 两个无穷小的和或差，仍是无穷小。 性质 两个无穷小的和或差，仍是无穷小。 推论： 有限个无穷小的代数和仍是无穷小， 推论： 有限个无穷小的代数和仍是无穷小，但无 代数和不一定是无穷小。 限个无穷小的 代数和不一定是无穷小。 例如： 1 2 3 n n(n + 1) n + 1 lim 2 + 2 + 2 + + 2 = lim n→∞ n n n n n →∞ 2n 2 1 1 1 = lim + = n → ∞ 2n 2 2 = lim n →∞ 2n

n n(n + 1) 1 2 3 n + 1 lim 3 + 3 + 3 + + 3 = lim = lim 2 3 n →∞ n n →∞ 2n n n n n →∞ 2n 1 1 = lim + 2 = 0 n →∞ 2n 2n

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性质2 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。 性质 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。

1 例如 ，因为 lim = 0 , x →∞ x1 同理 lim x sin = 0 x →0 x

sin x ≤ 1

1 所以 lim sin x = 0 x →∞ x

推论:(1)常数与无穷小的乘积是无穷小； 推论 ( )常数与无穷小的乘积是无穷小； (2)有限个无穷小的乘积仍是无穷小。 )有限个无穷小的乘积仍是无穷小。

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无穷小与函数极限的关系在自变量的同一变化过程中,具有极限 定理 在自变量的同一变化过程中 具有极限 的函数等于它的极限与一个无穷小量之和， 的函数等于它的极限与一个无穷小量之和， 反之， 反之，如果函数可以表示为常数和一个无穷 小量之和，则常数就是函数的极限。 小量之和，则常数就是函数的极限。x→x0 ( x→∞)

lim f (x) = A f (

x) = A+αx→x0 ( x→∞)

其 中

lim α = 0返回 返回

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二、无穷大(量)则称函数f ( x)当x → x0 或x → ( f ( x) ,无限地增大， 无限地增大， 记为 时为无穷大， ∞)时为无穷大，x→x 0 ( x→∞)

当x → x0 或x → ∞)时，如果函数值的绝 ( 对值

lim f ( x) = ∞.

注意

1.切勿将 lim f ( x) = ∞认为极限存在 .x→x0

2.无穷大是变量 不能与很大很大的数混淆 无穷大是变量,不能与很大很大的数混淆 无穷大是变量 不能与很大很大的数混淆; 0 例如： 10 是很大的数， 穷大。 例如： 1000000000 是很大的数，但不是无 穷大。 返回 返回

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例如， 例如，函数

M o 1 δ M

1 f ( x) = . x 1

1 δ x

1 当x →1 ,f(x)的绝对值 f(x) 时 = 无限 x 1 增大。 增大。 1 所 f( x) = 以 ，当 x →1 为 穷 ， 记 时 无 大 为 x 1 1 lim = ∞. x→1 x 1 返回 返回

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无穷小与无穷大的关系在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 定理 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 意义 关于无穷大的讨论 都可归结为关于无穷小 的讨论. 的讨论

, , 例如当x →1 , f ( x) = x - 1是无穷小 则当 时 1 1 x 1 ≠ 0时, = 是当x →1 时的无穷大. f ( x) x 1返回 返回

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三、无穷小的比较引例 . x →0时, 1 Y=x Y=x2 1 1 2 0.1 0.01

x, x2 都是无穷小, 但3 0.01 4 0.001 …… –> 0 –>0

0.000 0.0001 …… 001

所以无穷小趋于零的速度不一样， 所以无穷小趋于零的速度不一样，因此引入阶的概念

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定义: 定义:设α, β是同一过程中的两个无 , 且α ≠ 0. 穷小 β (1) 如果lim = 0, 就说β是比α高阶的无穷小 , α 记作β = o(α); β β α低阶的无穷小. (2)如果lim = ∞, 就说 是比 低阶的无穷小. α β (3) 如果lim = C(C ≠ 0),就说β与α是同阶的无穷小 ; α β ; 特殊地如果lim = 1, 则称β与α是等价的无穷小 α 记作α ~ β;

β (4)若 lim k =C ≠ 0,则称 β 是关于 α 的 k 阶无穷小; 若 阶无穷小 α返回 返回

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常用等价无穷小: 常用等价无穷小:

当x →0时, 时

sin x ~ x, tan x ~ x, ln(1+ x) ~ x,

arcsin x ~ x, arctan x ~ x, e 1 ~ x,x

用等价无穷小可给出函数的近似表达式: 用等价无穷小可给出函数的近似表达式 β α β α ∵lim = 1, ∴lim = 0, 即α β = o(α), α α 于是有α …… 此处隐藏：1915字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……