20071031高一数学(3.1.1-1方程的根与函数的零点)

3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点

第一课时 方程的根与函数的零点

问题提出

1 5730 p 2

t

判断下列方程是否有实根，有几个实根？

x 2x 3 02

lnx 2x - 6 0

方程的根与函数图像与x轴交点的对 2 比：x 2 x 3 0

方程的根函数以x轴的 交点

3,0 ; 1,0

x1 3, x2 1

一、函数零点的定义： 对于函数y=f(x),使方程f(x)=0的实 数x叫做函数y=f(x)的零点。 我们可不可以这样认为，零点就是 使函数值为0的点？

方程的根与函数的零 点究竟是什么关系？方程的根与函数零点是 等价关系。

如果已知函数y=f(x)有 零点，你怎样理解它？

函数y=f(x)有零点

方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有 公共点.

例1.求下列函数的零点：

2 y log2 x1 y 31 3 y xx

x 4 x 1 , x 4 4 y x 4 x 1 , x 4

那么我们来考虑怎么来求 的根的问题

lnx 2x - 6 0g x 6 2 x

f x ln x

化归思想

如果不转化，这个问题就 真的解决不了么？我们能不能不画图象就判 断出零点的存在呢？

函数y=f(x)具备什么条件时，能在区间 (a,b)上存在零点？f(a)· f(b)<0 若f(a)· f(b)<0,函数y=f(x)在区间(a,b)上 就存在零点吗？ 不一定，要求函数在这段区间内是要连 续不断

函数零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图 像是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间 (a,b)内有零点，即存在c∈ (a,b), 使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的 根.

1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)· f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内会是只有一个零点么?

1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且 f(a)· f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内会是只 有一个零点么?若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且 f(a)· f(b)<0,则只能确定f(x)在区间(a,b) 内有零点，有几个不一定。

2.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且 f(a)· f(b)>0,则f(x)在区间(a,b)内就一定 没有零点么？

若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且 f(a)· f(b)>0,则f(x)在区间(a,b)内也可能 有零点。

3.在什么条件下，函数y=f(x)在区间 (a,b)上可存在唯一零点？

在零点存在性定理的条件下，如果函 数再具有单调性,函数y=f(x)在区间(a,b) 上可存在唯一零点。

三大数学思想：数形结合

化归与转化

函数与方程

实战演练：1.函数f(x)=x(x2-16)的零点为( C ) A. (0,0),(4,0) B.0,4 C. (–4,0),(0,0),(4,0) D.–4, 0, 42.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数， 且f(x)在 上有一个零点，则f(x)的零点个 数为( B ) A.3 B.2 C.1 D.不确定

实战演练：3.已知函数f(x)的图象是

连续不断的，有 如下对应值表：

x

1 2 f(x) 23 9

3 4 5 6 7 -7 11 -5 -12 -26

那么函数在[1,6]至少有几个零点？( C ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个

实战演练：4.函数f(x)= – x3 – 3x + 5的零点所在的 大致区间为( B ) A.( – 2 ,0) B. (1,2) C. (0,1) D. (0,0.5)