双因素无重复试验方差分析

双因素无重复试验的方差分析检验两个因素的交互效应,对两个因素的每一 组合至少要做两次试验. 如果已知不存在交互作用,或已知交互作用对 试验的指标影响很小,则可以不考虑交互作用. 对两个因素的每一组合只做一次试验,也可以 对各因素的效应进行分析——双因素无重复试验 的方差分析.

设试验结果受两个因素 A, B 的影响，因素 A 有 r 个水平A1 , A2 , , Ar ;因素 B 有 s 个水平 B1 , B2 , , Bs .在两个因素

的每一个组合 Ai B j 作一次试验，所得试验结果为

X ij i 1,2,

, r; j 1,2,

, s .

因素B 因素A A1A2

B1

B2

Bs

x11 x21 xr 1

x12x22 xr 2

x1sx2 s xrs

Ar

假设 X ij~N ( ij , 2 ), i 1, , r , j 1, , s.各 X ij 独立, ij , 2 均为未知参数.1 r s ij , rs i 1 j 1 1 s i ij , s j 1 记 r 1 j ij , r i 1 ai i , i 1, 2, , r , b j j , j 1, 2, , s.

称为总平均ai 称为水平 Ai 的效应

b j 称为水平 A j 的效应

显然， ai 0, b j 0i 1 j 1

r

s

并且， ij 可表示为

ij ai b j

双因素无重复试验方差分析的数学模型

X ij ai b j ij , ~N (0, 2 ), 各 独立, ij ij i 1, 2, , r , j 1, 2, , s, r s ai 0, b j 0. j 1 i 1

任务：检验假设 H 01 : a1 a2 ar 0, H11 : a1 , a2 , , ar 不全为零. H 02 : b1 b2 bs 0, H12 : b1 , b2 , , bs不全为零.

r s 1 记号： X X ij rs i 1 j 1

1 s X i X ij s j 12

X j

1 r X ij r i 1

ST X ij X i 1 j 1 r s

r

s

Se X ij X i X j X i 1 j 1 r s 2 r

2

S A X i X s X i X i 1 j 1 r s i 1 s 2

2

S B X j X r X j X i 1 j 1 j 1

2

.

可以证明： ST Se S A S B

定理 (1)

对前面给定的模型有

2

Se

~ 2 ((r 1)( s 1)).

(2) 当H 01成立时，

2

SA

~ 2 (r 1).且S A与Se相互独立

S A /(r 1) 从而有FA ~ F (r 1,(r 1)( s 1)). Se /((r 1)( s 1)) SB 2 当 H 成立时， ~ ( s 1).且S B与Se相互独立 (3) 02 2

S B /( s 1) 从而有FB ~ F ( s 1,(r 1)( s 1)) Se /((r 1)( s 1))

对给定的显著性水平 ,拒绝域分别为WA {FA : FA F ((r 1),(r 1)( s 1))} WB {FB : FB F (( s 1),(r 1)( s 1))}

计算过程的化简

1 P xij rs i 1 j 1 r s r s

2

总

和-平方-均值2

1 QA xij s i 1 j 1 2 s r 1 QB xij r j 1 i 1 2 R xij i 1 j 1 r s

行和-平方-和-均值

列和-平方-和-均值总平方和

可以证明：S A QA P S B QB P ST R P Se R QA QB P

双因素无重复试验方差分析表 误差来源 因素 A 因素 B 误差 e 总和 平方和S A QA P S B QB P

自由度

均方S MS A A r 1

F值

显著性

r 1s 1

FA FB

MS A MS EMS B MSe

SB MS B s 1

S e R QA QB PST R P

Se (r 1)(s 1) MSe (r 1)( s 1)rs 1

例 在某种橡胶的配方中，考察了三种不同的促进 剂(因素A)、四种不同份量的氧化锌(因素B). 每个配方各试验一次，测得橡胶的强度如下： B1 B2 B3 B4 A1 32 35 35.5 38.5 A2 33.5 36.5 38 39.5 A3 36 37.5 39.5 43 问不同的促进剂、不同份量的氧化锌分别对橡胶的 强度有无显著影响 0.05 ?