含参数恒成立问题

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关于x的不等式 x 25 ax在 1, 3 上恒成立，2

求实数 a 的取值范围。思路1:只须不等式左边的最小值不小于右边最大值； 思路2 :把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含参数a,求函数的最值；

思路3:把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像。

不等式的应用 ——含参数恒成立问题制作人: 雷凯岚

当x 1 , 2 时ax 2 0恒成立，求 a 的取值范围 。

从 数 的 角 度

ax 2 0 ax 2 2 结论：(变量分离法)将不 a 2 又 x 0 等式中的两个变量分别置于 x f x x 在 x 1, 2 上是减函数

2 a x

=2

max

不等号的两边，则可将恒成 立问题转化成函数的最值问 题求解。

a 2

a f x ,则 a f x max 若 a f x ,则 a f x min若

当x 1 , 2 时ax 2 0恒成立，求 a 的取值范围 。当x 1, 2

,

f ( x) ax 2 0恒成立，

求 a 的取值范围 。

y

从 形 的 角 度

f 1 0 f 2 0

a 2 0

2a 2 0

a 2

o-2

1 2

x

a 1

a 2

当 x m, n 时， ax b 0 恒成立的条件

f ( m) 0 结论： 当 x m, n 时，f x ax b 0 恒成立的条件有 f ( n) 0

当 x m, n 时， ax b 0 恒成立的条件从形的角度： y 考虑 f x ax b 的图象 y y

o m n

x

o m n

x

o m n

x

f ( m) 0 当x m , n 时, f x ax b 0恒成立的条件有 f ( n) 0 f ( m) 0 同理得当x m , n 时, f x ax b 0恒成立有 f ( n) 0

p x 2 R 恒成立，求 px的范围。 xp p2 x恒成立，求 若若 ,,x x 2 xp 11 p x22

由

x

2

xp 1 p 2 x

x2 xp 1 p 2 x 0

即

2 x 1 p x 2 x 1 0

设 f p x 1 p x 2 2 x 1 0 ,对p 2, 2 上恒成立，

f ( 2) 0 故有： f (2) 0

2 x 3 0 即 2 x 4x 1 0

x R x 5 -2或 x 5 2

x 5 -2或 x 5 2

2 x 题三：若 x R, xp 1 p 2 x 恒成立，求 p 的范围。

原不等式等价于 x2 p 2 x 1 p 0对 x R 恒成立 设 f x x 2 p 2 x 1 p 0 对 x R恒成立， 即

p 2 4 1 p 02

解得

8 p 0ax bx c 0(a 0)2

从形的角度： 结论：(二次函数型) 对 x R有ax 2 bx

c 0(a 0)或 恒成立的条件是什么？

结论：(二次函数型)

对

x R有ax 2 bx c 0(a 0) 2 或 ax bx c 0(a 0) 恒成立的条件2

从形的角度：2 或 f x ax bx c 0(a 0) f x ax bx c 0(a 0) y y x o x o

a 0 0

或

a 0 0

不等式 x xp 1 p 2 x对 x 1, 恒成立，求2

p 的范围。

原不等式可转化为2

f x x2 p 2 x 1 p 0对 x 1, 恒成立

ⅰ)当 p 2 4 1 p 0时，即 8

f x 0恒成立； 2 ⅱ)当 p 2 4 1 p 0 时由图可得以下充要条件：f 1 0 p 2 1 2

p 0 时，对一切

0

得 p 0

y o x

y o

1

x

综合可得 p 的取值范围为 8, . 结论：二次函数型在指定区间上的恒成立问题，可以利用 根的分布求解。

不等式 x xp 1 p 2 x对 x 1, 恒成立，求22 原不等式可等价于 x 1 p x 2 x 1

p 的范围。

x 12

x 1 0x 1

2 2x 1 x x 则 p p x 1 x 1 2 2 2x 1 x 1 4 x 1 4 x x 1 x 1 4 x 1 4 x 1

2x 1

4 4 x 1 4 x 1

max

4 2 ( x 1) 8

8

p 8

当 x 1, 2 时，不等式 x 1 log a x 恒成立，求 a 的范围。2

设 y

y1 x 1 , y2 log a x2

y1=(x-1)2

y

y1=(x-1)2 y2=logax

1 o

1

2

0 a 1

x y2=logax

1 o

1

2

x

要使对一切 x 1, 2 ,y1

y2 恒成立， 显然 a 1 , 1 a 2

a 1

并且必须也只需当 x 2 时，y2 的函数值大于 y1 的函数值。

log a 2 1且a 1

结论：若能画出不等号两边函数的图象，则可以通过 图象法解题。

从数的角度： 变量分离法

求函数最值

从形的角度： 图象法(函数性质及图象)

设函数 步骤：

画图

列式

转化、数形结合、分类讨论等

1 关于x的不等式 x 25 ax在 1, 3 上恒成立，2

求实数 a 的取值范围。1 2 a 4 2 不等式 0在 , 1 上恒成立， 求实数a 取值范围。 3x x