第20卷 第5期 天 中 学 刊 Vol.20 No.5 2005年10月 Journal of Tianzhong Oct.2005
∨─∧模糊关系方程的传递解
李东亚,党平安,周厚勇,张冠宇
(黄淮学院,河南 驻马店 463000)
摘 要:给出了∨─∧模糊关系方程的传递解的存在条件,讨论了解的范围. 关键词:模糊关系;模糊关系方程;∨─∧模糊方程;传递解 中图分类号:O159
文献标识码:A
文章编号:1006-5261(2005)05-0001-02
模糊关系方程在模糊控制、模糊推理和模糊逻辑等领域有着广泛的应用.关于基于∨─∧算子的模糊关系方程A X=B的求解问题,不少学者对模糊数学的这一方向进行了较深入的研究,得到了一些令人满意的结论.本文对∨─∧模糊关系方程的传递解问题进行讨论. 1 准备
a1j
, aj= M anj j=1,,,n. 23L,
设∨(ai∧xi)=B,或
y∈U
u2,L,un}上设A,B,C,X都是有限集U={u1,
的模糊关系,S是连续的s 模,其合成运算规定如下:
z)=∨S(A(x,y),B(y,z)), (AB)(x,
y∈U
其中x,z∈U.该合成关系有以下性质: AB∨C)=AB∨AC; (1) (
AB∧C)=AB∧AC; (2) (
(3) 若A B,则XA XB,AX BX; (4) 存在单位元E,使得
EX=XE=X,
1,当x=y
E(x,y)=
0,当≠xy
0,当x=y
E′(x,y)=
1xy,当≠
y)=0,(5) 存在零元O,使XO=OX,O(x,
其中x,y∈U.
U上的关系A通常用模糊方阵表示,A=(aij),其中aij=A(xi,xj),i,j=1,,,23L,n.也可以用如下形式表示
A=(a1,a2,L,an),
收稿日期:2005-04-22
A X=B (1)
是一个模糊矩阵方程,其中A是m×n矩阵,X是n×1的未知矩阵,B是m×1矩阵, 是∨─∧运算, i∈I(I为指标集),ai,xi∈[0,1].
令aαb=sup{x∈|S(a,x)≤b},则有以下定理1.1和定理1.2.
定理1.1[1] 方程(1)有解的充分条件是AX =B,其中
X(x,z)=∧(A(y,x)αB(y,z)),x,z∈U, (2)
y∈U
若方程(1)有解,则X 就是其最大解.
易知(2)式给出的X 在一般情况下满足AX ≤B.
定理1.2 若方程(1)有解,则存在解
x1,x2,L,xm,
对(1)的任意解X,存在j≤m,使Xj≤X≤X .方程(1)的解集为
X(A,B)=U[Xj,X ].
1≤j≤m
2 传递解
若模糊关系A满足A2≤A(A2=A),则称A
是传递的(幂等的).
引理2.1 对任何模糊关系A,存在包含A的最
基金项目:国家自然科学基金资助项目(60364001);河南省教育厅自然科学研究计划项目(2003110011) 作者简介:李东亚(1962 ),男,河南遂平人,黄淮学院数学科学系副教授.