2013高考数学平面向量平面向量的应用

第26讲 平面向量的应用

【2013年高考会这样考】

1．考查利用向量方法解决某些简单的平面几何问题．

2．考查利用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．

【复习指导】

复习中重点把握好向量平行、垂直的条件及其数量积的运算，重视平面向量体现出的数形结合的思想方法，体验向量在解题过程中的工具性特点．

一知识梳理

1．向量在平面几何中的应用

a∥b a＝λb(b≠0)a2相似，可以用向量的知识来解决．

(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．

3、方法归类

一个手段 实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标

两条主线

(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．

(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题． 双基自测

→＋DC→－2DA→)·→－AC→)＝0，则△ABC1．平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(DB(AB

的形状是( )．

A．直角三角形 B．等腰直角三角形

C．等腰三角形 D．无法确定

→

DC－DA→]·→－AC→)＝0，所解析 由(DB(AB

→＋AC→)·以(AB(→|2－|AC→所以|AB

故△ABC答案 C

2．(2012·1)，则|2a－b|的最大值，最小值分别是(A．4,0 C．2,0 解析 设a与b夹角为θ，

∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8－4|a||b|cos θ＝8－8cos θ，

∵θ∈[0，π]，∴cos θ∈[－1,1]，

∴8－8cos θ∈[0,16]，即|2a－b|2∈[0,16]，

∴|2a－b|∈[0,4]．

答案 A

→→ →AC→1 ABACAB→→→ ＋3、 在△ABC中，已知向量AB与AC满足 ·BC＝0且2，则 →→ →→|AB||AC| |AB||AC|

△ABC为( )．

A．等边三角形 B．直角三角形

D．三边均不相等的三角形 C．等腰非等边三角形

→→ →AC→1 ABACAB→→， ＋解析 由 ·BC＝0知△ABC为等腰三角形，AB＝AC.由〈AB→→ →||AC→|2|AB |AB||AC|

→AC〉＝60°，所以△ABC为等边三角形，故选A.

答案 A

→＝a，OB→＝b的面积等于( )． 4、平面上O，A，B三点不共线，设OA

1[再由公式S＝absin 2

θ1＝|a||b|－ a·b .

答案 C

平面向量的数量积是解决平面几何中相关问题的有力工具：利用|a|可以求线

a·b段的长度，利用cos θ＝|a||b|θ为a与b的夹角)可以求角，利用a·b＝0可以证明垂直，

利用a＝λb(b≠0)可以判定平行．

考向一 平面向量在平面几何中的应用

【训练1】 设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于( )．

A．以a，b为邻边的平行四边形的面积

B．以b，c为邻边的平行四边形的面积

C．以a，b为两边的三角形的面积

D．以b，c为两边的三角形的面积

解析

∵|b·c|＝|b||c||cos θ|，如图，

∵a⊥c，∴|b||cos θ|就是以a，bh，而|a|＝|c|，∴|b·c|＝|a|(|b||cos θ|)，∴|b·c|表示以a，b

答案 A

考向二

π3π 【例2】 已知A，B，A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈ 2，2 .

→|＝|BC→| (1)若|AC

→·→＝－1，求2sinα＋sin 2α的值． (2)若ACBC1＋tan α

→、BC→的坐标，第(1)问利用两个向量的模相等建立角α的[审题视点] 首先求出向量AC

→与BC→数量积的坐标运算化简已知条件，得到三角方程进行求解；第(2)问利用向量AC

角α的三角函数值，把所求式子化简，寻找两个式子之间的关系．

→＝(cos α－3，sin α)，BC→＝(cos α，sin α－3)， 解 (1)∵AC

→2＝(cos a－3)2＋sin2α＝10－6cos α， ∴AC

2

→2＝cos2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α， BC

→|＝|BC→|，可得AC→2＝BC→2，即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 由|AC

5π π3π 又∵α∈22，∴α＝4.

→·→＝－1， (2)由ACBC

得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，

2∴sin α＋cos α＝3①

2sin2α＋sin 2α2sin2α＋2sin αcos α＝2sin αcos α.

sin α1＋tan α1＋cos α

∴2sin αcos α【训练2】 ．

(1)若a∥b，求(2)若|a|＝|b|,0解 (1)因为a于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝4(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，

所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5.

从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4， π2 即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，于是sin 2θ＋4＝－2.

ππ9π又由0＜θ＜π知，4＜2θ＋44

π5ππ7ππ3π所以2θ＋4＝4或2θ＋44因此θ＝2θ＝4考向三 平面向量与平面解析几何交汇

【例3】 (2012·兰州模拟)已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动

→＋1PQ→)·→－1→)＝0. 点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(PC(PC22

(1)求动点P的轨迹方程；

→·→的最值． (2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求PEPF

[审题视点] 第(1)问直接设动点P的坐标，然后代入向量坐标，化简整理即得轨迹方程；第(2)点P与定点N 解 (1)设P(

→＋1PQ→由(PC2即(x－2)＋y22

所以点P→·→＝(－NP→)2－NF→2＝NP→2－1，(2)因PEPF

x2y24y2002P是椭圆1612＝1，即x0＝163，又

3)2＋20. N(0,1)，所以→2取得最大值20，故PE→·→的最大值为因y0∈[－3，3]，所以当y0＝－3时，NPPF

19；

→2取得最小值(23－1)2＝13－43，(此时x＝0)，故PE→·→的最小值当y0＝23时，NPPF0

为12－43.

平面向量与平面解析几何交汇的题目，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中最值等问题，解决此类问题应从向量的坐

标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法——坐标法．

难点突破12——高考中平面向量与其他知识的交汇问题

平面向量是高中数学的重要知识，是高中数学中数形结合思想的典型体现．近几年新课标高考对向量知识的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与其他知识交汇的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显平面向量的交汇价值．

一、平面向量与命题的交汇

1、(2011·陕西)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|

A．若a≠b，则|a|≠|b|

B．若a＝－b，则|a|≠|b|

C．若|a|≠|b|，则a≠－b

D．若|a|＝|b|，则a＝－b

2、 (2010·北京)b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是( )．

A．一次函数且是奇函数

B．一次函数但不是奇函数

C．二次函数且是偶函数

D．二次函数但不是偶函数

▲平面向量与线性规划

x＋y≥2，

3、(2011·福建)已知O是坐标原点，点A(－1,1)．若点M(x，y)为平面区域 x≤1，

y≤2

→·→的取值范围是( )． 上的一个动点，则OAOM

A．[－1,0] B．[0,1] C．[0,2] D．[－1,2]