[推荐学习]2018高考数学一轮复习第5章数列第2节等差数列课时分层训练文北师大

生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 课时分层训练(二十八) 等差数列

A 组 基础达标

(建议用时：30分钟)

一、选择题

1．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( )

A ．37

B ．36

C ．20

D ．19

A [a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82

d ＝36d ＝a 37.] 2．(2017·深圳二次调研)在等差数列{a n }中，若前10项的和S 10＝60，且a 7＝7，则a 4＝( )

A ．4

B ．－4

C ．5

D ．－5

C [法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝60，a 1＋6d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝3，d ＝23，∴a 4＝a 1＋3d ＝5. 法二：由等差数列的性质有a 1＋a 10＝a 7＋a 4，∵S 10＝

a 1＋a 102＝60，∴a 1＋a 10＝12.

又∵a 7＝7，∴a 4＝5.] 3．(2017·福州质检)已知数列{a n }是等差数列，且a 7－2a 4＝6，a 3＝2，则公差d ＝( )

【导学号：66482245】

A ．2 2

B ．4

C ．8

D ．16

B [法一：由题意得a 3＝2，a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d )＝6，解得d ＝4，故选B. 法二：由题意得⎩⎪⎨⎪

⎧ a 7－2a 4＝a 1＋6d －a 1＋3d ＝6，a 3＝a 1＋2d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪

⎧ a 1＝－6，d ＝4，故选B.]

4．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )

【导学号：66482246】

A ．S 7

B ．S 6

C ．S 5

D ．S 4 C [∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 5>0，a 6<0，

∴S n 的最大值为S 5.]

5．(2017·湖北七市4月联考)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：

生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持

今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？( )

A ．9日

B ．8日

C ．16日

D ．12日

A [根据题意，显然良马每日行程构成一个首项a 1＝103，公差d 1＝13的等差数列，前

n 天共跑的里程为S ＝na 1＋

n n －

2

d 1＝103n ＋132

n (n －1)＝6.5n 2＋96.5n ；驽马每日行程

也构成一个首项b 1＝97，公差d 2＝－0.5的等差数列，前n 天共跑的里程为S ＝nb 1＋

n n －

2

d 2＝97n －

0.5

2

n (n －1)＝－0.25n 2＋97.25n .两马相逢时，共跑了一个来回．设其第n 天相逢，则有6.5n 2

＋96.5n －0.25n 2

＋97.25n ＝1 125×2，解得n ＝9，即它们第9天相遇，故选A.]

二、填空题

6．(2017·郑州二次质量预测)已知{a n }为等差数列，公差为1，且a 5是a 3与a 11的等比中项，则a 1＝__________.

－1 [因为a 5是a 3与a 11的等比中项，所以a 2

5＝a 3·a 11，即(a 1＋4d )2

＝(a 1＋2d )(a 1＋10d )，解得a 1＝－1.]

7．(2016·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则

S 6＝________.

6 [∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0. ∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2. ∴S 6＝6a 1＋

－2

d ＝6.]

8．(2016·江苏高考)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 2

2＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．

20 [法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知S 5＝5a 1＋5×4

2d ＝10，得a 1＋2d

＝2，即a 1＝2－2d ，所以a 2＝a 1＋d ＝2－d ，代入a 1＋a 2

2＝－3，化简得d 2

－6d ＋9＝0，所以

d ＝3，a 1＝－4.故a 9＝a 1＋8d ＝－4＋24＝20.

法二：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知

a 1＋a 5

2

＝5a 3＝10，所以a 3＝2.

由a 1＋a 3＝2a 2，得a 1＝2a 2－2，代入a 1＋a 2

2＝－3，化简得a 2

2＋2a 2＋1＝0，所以a 2＝－1.

公差d ＝a 3－a 2＝2＋1＝3，故a 9＝a 3＋6d ＝2＋18＝20.] 三、解答题

生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 9．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.

(1)求a 及k 的值；

(2)设数列{b n }的通项b n ＝S n n ，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .

【导学号：66482247】

[解] (1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ， 由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2， 所以S k ＝ka 1＋k k －2

·d ＝2k ＋k k －2×2＝k 2＋k . 3分 由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，

解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. 5分

(2)证明：由(1)得S n ＝n 2＋2n 2＝n (n ＋1)， 则b n ＝S n n ＝n ＋1，

故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，8分

即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，

所以T n ＝n 2＋n ＋2＝n n ＋2. 12分

10．(2017·合肥三次质检)等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ≠0，且a 3·a 4＝a 12.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝a n ·2n

，求数列{b n }的前n 项和T n .

[解] (1)由a 3·a 4＝a 12得(1＋2d )·(1＋3d )＝1＋11d ⇒d ＝1或d ＝0(不合题意舍去)，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n . 5分

(2)依题意b n ＝a n ·2n ＝n ·2n ， T n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，

2T n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2

n ＋1，9分 两式相减得－T n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2

n ＋1 ＝－2n 1－2－n ×2

n ＋1 ＝(1－n )2n ＋1－2，

∴T n ＝(n －1)2n ＋1

＋2. 12分

B 组 能力提升

(建议用时：15分钟) 1．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n S 2n

为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等

生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为

( )

A ．b n ＝n －1

B ．b n ＝2n －1

C ．b n ＝n ＋1

D ．b n ＝2n ＋1

B [设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n ＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤2n ＋12×2n 2n －d ， 即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，

整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.

因为对任意的正整数n 上式均成立，

所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，

解得d ＝2，k ＝14

， 所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.]

2．已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为__________.

【导学号：66482248】

110 [因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，代入求和公式得，

S n ＝na 1＋n n －2d ＝20n －n n －2×2

＝－n 2＋21n ＝－⎝

⎛⎭⎪⎫n －2122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2122， 又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110.]

3．(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．

(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；

(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．

[解] (1)证明：由题设知a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，2分 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1，

由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ. 5分

(2)由题设知a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，

可得a 2＝λ－1.

由(1)知，a 3＝λ＋1. 7分

令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.

故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；9分

生活的色彩就是学习

{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.

所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2，

因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列. 12分K12的学习需要努力专业专心坚持