高中数学解题基本方法(4)

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A＝60° α

由A＋C＝120°，设 ，代入已知等式得：

C＝60°－α 1cosA

＋

1cosC

＝

1cos(60 )

＋

1cos(60 )

＝

12

1

cos

32sin

＋

1

12cos

32sin

＝

cos

14

cos

2

34

＝

sin

2

cos cos

2

34

＝－22,

解得：cosα＝

22

， 即：cos

A C2

＝

22

。

【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以

1cosA

1cosC

1cosA

＋

1cosC

＝－

2cosB

＝－22，设

1

＝－2＋m，

1

＝－2－m ，

所以cosA＝

2 m

，cosC＝

2 m

，两式分别相加、相减得：

cosA＋cosC＝2cos

A C2

cos

A C2

＝cos

A C2

＝

22m 2

2

，

2mm

2

cosA－cosC＝－2sin

A C2

A C2

sin

A C2

＝－3sin22m 2

2

A C2

＝

2

，

A C2

即：sin＝－

2m3(m 2)

2

，＝－

，代入sin2

A C2

＋cos2

＝1整理

得：3m4－16m－12＝0,解出m2＝6，代入cos

A C21

＝

22m 2

2

＝

22

。

【注】 本题两种解法由“A＋C＝120°”、“

cosA

＋

1cosC

＝－22”分别进行均值

换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以

1cosA

＋

1cosC

＝－

2cosB

＝－22，即cosA＋cosC

＝－22cosAcosC，和积互化得：