3.5 对数函数与指数函数的导数

导数

3.5 对数函数与指数函数的导数

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知识回顾

1.常见函数的导数公式： 1.常见函数的导数公式： 常见函数的导数公式 公式1 公式 公式2 公式 公式3 公式 公式4 公式 公式5 公式 为常数) C′ = 0(C 为常数)

( xn )′ = n xn 1(n∈Q)(sin x)′ = cos x.(cos x)′ = sin x.

(tan x )' =

1 = sec 2 x cos 2 x

公式6 公式

1 (cot x )' = 2 = csc 2 x sin x

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2.导数的四则运算法则: .导数的四则运算法则

( u ± v )′ = u′ ± v ′

( uv )′ = u′v + uv ′

( u )' = u' v uv ' (v ≠ 0) v v23.复合函数的导数: .复合函数的导数

y' x = y'u u' x即复合函数对自变量的导数， 即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变 量的导数， 量的导数，乘中间变量对自变量的导数 .

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新授课 1. 对数函数的导数 (1) ) (ln x )′ = 1 x

(2) )

1 (log a x )′ = log a e x

(e=2.71828…)

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常用对数: 常用对数 为底的对数叫做常用对数 以10为底的对数叫做常用对数，为了简便， 为底的对数叫做常用对数，为了简便， N的常用对数 log10 N 简记作 lgN . 的常用对数 自然对数: 自然对数 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828… 在科学技术中常常使用以无理数 为底的对数， 为底的对数叫做自然对数. 为底的对数叫做自然对数 为底的对数，以e为底的对数叫做自然对数 为了简便， 的自然对数 为了简便，N的自然对数 loge N 简记作 ln N.

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例题讲解y = ln( 2 x 2 + 3 x + 1) 的导数. 的导数. 例1 求

解:

1 y′ = 2 ( 2 x 2 + 3 x + 1)′ 2x + 3x + 1 4x + 3 = 2 2x + 3x + 1

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y = lg 1 x 2 的导数. 的导数. 例2 求lg e y′ = ( 1 x 2 )′ 解法1: 解法 ： 1 x2 lg e x = x lg e . = 2 2 x2 1 1 x 1 x 1 y = lg 1 x 2 = lg(1 x 2 ) 解法2: 解法 ： 2 x lg e 1 lg e 2 ′= ′= 2 . y (1 x ) 2 2 1 x x 1

说明：解法 中 说明：解法1中 y = lg u , = u

v ,v = 1 x 2 ,取了两个中

2 1 间变量，属于多重复合.而解法 中 间变量，属于多重复合.而解法2中，y = lg u , u = 1 x 2 仅有一次复合，所以其解法显得简单，不易出错. 仅有一次复合，所以其解法显得简单，不易出错.

一般地， 真数中若含乘方或开方、 乘法或除法的， 一般地 ， 真数中若含乘方或开方 、 乘法或除法的 ， 均 可先变形再求导. 可先变形再求导.

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求下列函数的导数： 例3 求下列函数的导数： 1 + x2 y = log 2 ( x + 1 + x 2 ) (2) ) (1) y = ln ) 2 1 x 2 2 解：(1) y = 1 [ln(1 + x ) ln(1 x )] 2

(1 + x 2 )' (1 x 2 )' 1 2 x = 2 x2 = 2 x 4 . y' = 1 2 1 + x2 1 x 2 2 1 + x 2 1 x 1 x log 2 e ( 2 ) y' = ( x + 1 + x 2 )' x + 1 + x2 2 1 (1 + x )' = 1 + 2 2 x + 1+ x

2 1+ x log 2 e x = log 2 e . = 1 + 2 2 x + 1+ x 1+ x 1 + x2 log 2 e

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2. 指数函数的导数 (1) )

(e x )′ = e x(a x )′ = a x ln a

(e=2.71828…)

(2) ) 例4

求 y = e 2 x cos 3 x 的导数 .

y' = (e 2 x )' cos 3 x + e 2 x (cos 3 x )' 解： = 2e 2 x cos 3 x + e 2 x ( 3 sin 3 x ) = 2e 2 x cos 3 x 3e 2 x sin 3 x . 求 y = a 5 x 的导数 . 例5解： y' = a 5 x ln a (5 x )' = 5a 5 x ln a .

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求下列函数的导数： 例6 求下列函数的导数： (1) y = ln(1 + 2 )x

( 2) y = 10

sin 2 x

e2x ( 3) y = ln 2 x e +1 x (1 + 2 )' 2 x ln 2 解： . = (1) y' = x x 1+ 2 1+ 2

( 2) y' = 10 ln 10 (sin 2 x )' sin 2 x ln 10 2 sin x cos x = 10sin 2 x

ln 10 sin 2 x . = 10 1 ln e 2 x = 1 [2 x ln( e 2 x + 1)] ( 3) y = 2 e2x + 1 2 2x e ] ∴ y' = 1 [2 2x 2 2 e +1 = 1 2 x2 = 2 x1 . 2 e +1 e +1sin 2 x

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1 x 的导数 . 例7 已知 0<x<1,求 y = x , 1+ x解法1: 解法 ：

y' = ( x )' 1 x + x ( 1 x )' 1+ x 1+ x = 1 x + x 1 1 + x ( 1 x )' 1+ x 2 1 x 1+ x

= 1 x + x 1 1+ x 2 2 1+ x 2 1 x (1 + x )1 ] = x 1 x[1 1+ x 1 + x x 1 x (1 + x ) 21 x x2 + x 1 . = 1+ x x2 1

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1 x 例7 已知 0<x<1,求 y = x , 的导数 . 1+ x解法2: 解法 ：Q y > 0 ,

∴ ln y = ln( x 1 x )= ln x + 1 [ln(1 x ) ln(1 + x )] 2 1+ x 两边同时对x求导 求导， 两边同时对 求导，得

y' 1 1 1 = + ( 1 )= 1 1 2 , x 1 x y x 2 1 x 1+ x

∴ y' = y ( 1 1 2 ) x 1 x1 x 1 x2 x =x 1 + x x(1 x 2 )1 x x2 + x 1 . = 1+ x x2 1

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课堂练习： 课堂练习： 课本P124~125 练习

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作业： 作业： 课本P 习题3.5 课本 125 习题 1~3

二教材 读书 P86~88,完成分级训练

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求下列函数的导数： 练 习： 求下列函数的导数： ) (1) y = ln 解：sin 2 x x

x sin 2 x y′ = sin 2 x x

′

x cos 2 x 2 x sin 2 x 1 = sin 2 x x2 1 = 2 cot 2 x x

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2 (2) y = ln sin ( e x ). )

解：

[sin 2 (e x )]′ y′ = sin 2 (e x )2 sin( e x ) [sin(e x )]′ = sin 2 (e x ) 2 sin( e x ) cos(e x ) (e x )′ = sin 2 (e x ) = 2 cot(e x )