命题、定理、证明2

学习目标: (1)理解什么是定理和证明. (2)知道如何判断一个命题的真 假.

学习重点: 理解证明要步步有据.

问题1 请同学们判断下列命题哪些是真命题？哪些 是假命题？

(1)在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行 线中的一条，那么也垂直于另一条； (2)如果两个角互补，那么它们是邻补角； (3)如果 a b ,那么a=b; (4)经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线 平行； (5)两点确定一条直线.

1、数学中有些命题的正确性是人们在长期实践 中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真 假的原始依据，这样的真命题叫做公理。 2、有些命题可以从公理或其他真命题出发，用 逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以 进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的 真命题叫做定理。

公理和定理都可作为判断其他命题真假的依据。

定理问题1中的(1)(4)(5)它们的正确性是经过推 理证实的，这样得到的真命题叫做定理(theorem). 定理也可以作为继续推理的依据. 问题2 你能写出几个学过的公理和定理吗？

公理举例： 1、直线公理： 经过两点有且只有一条直线。 2、线段公理： 两点的所有连线中，线段最短。 3、平行公理： 经过直线外一点，有且只有一条 直线与已知直线平行。

4、平行线判定公理： 同位角相等，两直线平行。5、平行线性质公理： 两直线平行，同位角相等。

定理举例： 1、补角的性质：

同角或等角的补角相等。

2、余角的性质：3、对顶角的性质：

同角或等角的余角相等。对顶角相等。

4、垂线的性质：

①过一点有且只有一条直线 与已知直线垂直； ②垂线段最短。

5、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条 直线平行，那么这两条直 线也互相平行。

定理举例：

6、平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行。 同旁内角互补，两直线平行。

7、平行线的性质定理：两直线平行，内错角相等。 两直线平行，同旁内角互补。

问题3 请同学们判断下列两个命题的真假，并思考 如何判断命题的真假. 命题1: 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平 行线中的一条，那么它也垂直于另一条. (1)命题1是真命题还是假命题？ (2)你能将命题1所叙述的内容 用图形语言来表达吗？

命题1 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条 平行线中的一条，那么它也垂直于另一条. (3)这个命题的题设和结论分别是什么呢？ 题设：在同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中 的一条； 结论：这条直线也垂直于两条平行线中的另一条.

命题1 在同一平面内，如果一条直线

垂直于两 条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.

(4)你能结合图形用几何语言表述命题的题设和 结论吗？已知：b∥c, a⊥b . 求证：a⊥c.

(5)请同学们思考如何利用已经学过的定义定理 来证明这个结论呢？ 已知：b∥c,a⊥b . 求证：a⊥c. 证明：∵ a⊥b(已知), ∴∠1=90º (垂直的定义). 又∵ b∥c(已知), ∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等).

∴∠2=∠1=90º(等量代换).∴ a⊥c(垂直的定义).

问题3 请同学们判断下列两个命题的真假，并思 考如何判断命题的真假.命题2 相等的角是对顶角. (1)判断这个命题的真假. (2)这个命题题设和结论分别是什么？ 题设：两个角相等； 结论：这两个角互为对顶角.

问题3 请同学们判断下列两个命题的真假，并思 考如何判断命题的真假.命题2 相等的角是对顶角.

(3)我们知道假命题是在条件成立的前提下，结 论不一定成立，你能否利用图形举例说明当两个角 相等时它们不一定是对顶角的关系.

练习1 填空 已知：如图1,∠1=∠2,∠3=∠4, 求证：EG∥FH. 证明：∵∠1=∠2(已知) ∠AEF=∠1 ( 对顶角相等 ); ∴∠AEF=∠2 ( 等量代换 ). ∴AB∥CD (同位角相等，两直线平行). ∴∠BEF=∠CFE (两直线平行，内错角相等 ). ∵∠3=∠4(已知); ∴∠BEF-∠4=∠CFE-∠3. 即∠GEF=∠HFE ( 等式性质 ). ∴EG∥FH ( 内错角相等，两直线平行 ).

练习2 请你说出一个假命题，并举出反例.

归纳小结

1.如何判断一个命题的真假？ 2.谈谈你对证明的理解。

布置作业

教科书 习题5.3 第6、12、13题