第三章 n维向量组

第三章 n 维向量

2015

3.1 向量知识点： 向量的概念 向量的线性运算 向量空间

一. 向量的概念定义：由 n 个有顺序的数 a1 , a2 , , an 组成的有序数组

a1 , a2 , , an 称为 n 维向量，数 a1 , a2 , , an 称为向量 的分量(或坐标),

a j ( j 1,2, , n) 称为 的第 j 个分量(或坐标)。行向量： a1 , a2 , , an 列向量： 也叫行矩阵

b1 , b2 , , bn T

b1 b2 b n

也叫列矩阵

二. 向量的线性运算1. 几个常用知识点 (1)若 n 维向量 (a1 , a2 , , an ), (b1 , b2 , , bn ) 的对应 分量都相等，即 ai bi (i 1,2, , n) 时，称 与 相等，记作

(2)分量都是零的向量称为零向量，记作 O,即O (0,0, ,0) (3)向量 ( a1 , a2 , , an ) 称为向量 (a1 , a2 , , an ) 的负

向量，记作 2. 向量的线性运算 (1)向量的加法

定义3.1.2:设 (a1 , a2 , , an ), (b1 , b2 , , bn ) ,那么向 量 (a1 b1 , a2 b2 , , an bn ) 称为 与 的和，记为 ,即

a1 b1, a2 b2 , , an bn 【注】由此可知向量的减法

( ) a1 b1, a2 b2 , , an bn (2)向量的数乘

定义3.1.3:设 (a1 , a2 , , an ) 为 n 维向量， R ,向量

( a1 , a2 , , an ) 称为数 与向量 的乘积，记作 向量的加法和数乘统称为向量的线性运算。

(3)向量的线性运算满足的运算规律

( ) ( ) O ( ) O 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 例：设 1 (1,1,0), 2 (0,1,1), 3 (3,4,1) ,求 1 2 和

3 1 2 2 3

解： 1 2 (1,1,0) (0,1,1) (1,0, 1)

3 1 2 2 3 3(1,1,0) 2(0,1,1) (3,4,1) (0,1,1)

三. 向量空间定义3.1.4:设 V 为 n 维向量的集合，如果 V 非空，且 V 对 于向量的加法及数乘运算封闭，则集合 V 为向量空间。 封闭：若 , V,则 V;若 V, R ,则 V 定义3.1.5:设有向量空间 V1 及 V 2 ,若V1 V2,则称V1 是 V 2 的子空间。 例：证明集合 V1 (0, x2 , , xn ) | x2 , , xn R 是一个向量空 间。

证明：设 (0, a2 , , an ) V1, (0, b2 , , bn ) V1,则

(0, a2 b2 , , an bn ) V1 (0, a2 , , an ) V1即 V1 对于向量的加法和数乘运算封闭，所以是一个向量空间。

3.2

向量组及其线性组合知识点 向量组的概念 向量组的线性组合(即线性表出)

一. 向量组的概念定义3.2.1:若干个 n 维行向量(列向量)所组成的集合称为 n 维行(列)向量组。 例如向量组

1 (1,2,1), 2 ( 3,4,7), 3 (2, 1,5), 4 (4,6,1)由此可知，对于矩阵

3 4 1 2 A 1 1 4 2 3 4 11 8 (1)若令 1 (1,2,3,4), 2 ( 1, 1, 4, 2), 3 (3,4,11 ,8),则 矩阵 A 可由行向量组 1 , 2 , 3 表示成

1 A 2 3 (2)若令

1 2 3 4 1 1 , 2 1 , 3 4 , 4 2 3 4 11 8 则矩阵 A 可由列向量组 1 , 2 , 3 , 4 表示成 A 1 , 2 , 3 , 4

二. 向量组的线性组合1. 定义3.2.2:设 , 1 , 2 , , s 都是 n 维向量，如果存在 一组数 k1 , k2 , , ks,使得关系式 k1 1 k2 2 ks s 成立，

则称向量 是向量组 1 , 2 , , s 的线性组合，并称向量 可由向量组 1 , 2 , , s 线性表示(或线性表出)。

【注】(1)向量 是向量组 1 , 2 , , s 的线性组合，和向量

可由向量组 1 , 2 , , s 线性表出是一个意思。(2)O 向量是任意向量组的线性组合，或者说 O 向量可由任意 向量组线性表出。 (3)设有 n 个 n 维单位向量： e1 (1,0, ,0),e2 (0,1, ,0), ,en (0,0, ,1)

组成的向量组称为 n 维单位向量组，且任意 n 维向量都可以被该

, 向量组线性表出。(有的书上用 1 (1,0, ,0), 2 (0,1, ,0),

n (0,0, ,1) 表示单位向量组。) (4)向量组 1 , 2 , , m 中任意向量都可以用这个向量组线性表出，即 i 0 1 0 2 0 i 1 1 i 0 i 1 0 m 例：设有四个三维向量

(0,4,2), 1 (1,2,3), 2 (2,3,1), 3 (3,1,2)试将向量 表示为 1 , 2 , 3 的线性组合。解：设存在一组数 k1 , k2 , k3,使得关系式 k1 1 k2 2 k3 3 成立，则有 (0,4,2) k1 (1,2,3) k2 (2,3,1) k3 (3,1,2),即

k1 2k 2 3k3 0 2k1 3k 2 k3 4 3k k 2k 2 3 1 2由克莱姆法则得 k1 1 ,k2 1 ,k3 1,所以向量 可以表示为 向量组 1 , 2 , 3 的线性组合，且 1 2 3 2. 如何判断一个向量可由一个向量组线性表出

定理3.2.1:设 n 维向量组为

1 (a11 , a12 , ,

a1n ), 2 (a21 , a22 , , a2n ), , n (an1 , an 2 , , ann ), (b1 , b2 , , bn )令

1 A 2 n 若 A 0,则向量 (b1 , b2 , , bn ) 可由向量组 1 , 2 , , n 线性 表出。 命题1:设 m 维向量组为

1 (a11 , a12 , , a1m ), 2 (a21 , a22 , , a2m ), , n (an1 , an 2 , , anm ), (b1 , b2 , , bm )则向量 (b1 , b2 , , bm ) 可由向量组 1 , 2 , , n 线性表出的充

分必要条件是线性方程组