3_2转动定律 转动惯量 平行轴定理

刚体的转动

第三章 刚体的转动

3 – 2 转动定律 转动惯量 平行轴定理

力矩 v 刚体绕 O z 轴旋转 , 力 F 作用在刚体上点 P , 且在转动 v 为由点 到力的 平面内, 平面内 r 为由点O 作用点 P 的径矢 . v Z F 对转轴v 的力矩 v

一

v MzvMO

M = Fr sin θ = Fd

v M = r ×F

v r

v F*

d

P

θ

v v ∑ Fi = 0 , ∑ M i = 0

d v F

: 力臂

v F

v v ∑ Fi = 0 , ∑ M i ≠ 0

v F

v F

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第三章 刚体的转动

3 – 2 转动定律 转动惯量 平行轴定理

讨论

v 1)若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂 不在转动平面内， )直于转轴方向的两个分量

v v v F = Fz + F⊥ r

z

其中 Fz r 对转轴的力 矩为零， 矩为零，故 F 对转轴的 力矩 v v

v v k Fz

v Fθv F⊥

v M z k = r × F⊥ M z = rF⊥ sin θ

O

v r

2)合力矩等于各分力矩的矢量和 ) 力矩等于各分力矩的矢量和

v v v v M = M1 + M 2 + M3 + L

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第三章 刚体的转动

3 – 2 转动定律 转动惯量 平行轴定理

3) 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消 ) 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消

v MijO

v rj

v Mji

d

v iF ri ij

j v Fji v

v v M ij = M ji

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3 – 2 转动定律 转动惯量 平行轴定理

二 转动定律 1)单个质点 m 与转 ) 轴刚性连接

zv MO

Ft = mat = mrβ M = rF sin θ 2 M = rFt = mr β 2 M = mr β

v v Ft Fm v

v r

θ

Fn

v v 质量元受外 质量元受外力 F ,内力 f i i e i 2 M i + M i = mi ri β外力矩 内力矩

2)刚体 )

zO

v ri m iv fi

v Fi

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第三章 刚体的转动

3 – 2 转动定律 转动惯量 平行轴定理

M ie + ∑ M ii = ∑ mi ri 2 β ∑i i i

zO

Q M = Mi ij

i ji

∴∑ M = 0i i i

v ri2

miv fi

v Fi

∑Mi

e i

= ( ∑ m i ri ) β2 i

定义转动惯量 转动定律

J = ∑ mi rii

2

J = ∫ r dm

M = Jβ

M β= J

刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 合外力矩 与刚体的转动惯量成反比。 转动惯量成反比 正比 ，与刚体的转动惯量成反比。

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第三章 刚体的转动

3 – 2 转动定律 转动惯量 平行轴定理

三 转动惯量

J = ∑ mi ri 2 , J = ∫ r 2dmi

物理意义：转动惯性的量度。 物理意义：转动惯性的量度。 转动惯量的计算方法 质量离散分布刚体的转动惯量(由若干质点刚性连 ① 质量离散分布刚体的转动惯量 由若干质点刚性连 接组成的刚体) 接组成的刚体

J = ∑ mi ri = m r + m r + L2 2 11 2 2 2 i

② 质量连续分布刚体的转动惯量

J = ∑ mi ri = ∫ r dm2 2 i

dm

:质量元

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第三章 刚体的转动

3 – 2 转动定律 转动惯量 平行轴定理

② 质量连续分布刚体的转动惯量

J = ∑ mi ri = ∫ r dm2 2 i

dm

:质量元

对质量线分布的刚体： 对质量线分布的刚体： dm

λ

= λdl

:质量线密度

对质量面分布的刚体： 对质量面分布的刚体： dm

σ :质量面密度ρ:质量体密度

= σ dS= ρdV

对质量体分布的刚体： 对质量体分布的刚体：dm

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3 – 2 转动定律 转动惯量 平行轴定理

质量为m、长为l的均匀细长棒， 例3-1 一质量为 、长为 的均匀细长棒，求通 过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量。 过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量。 O r l 2

O

rdr

O′

dr

l 2

O´

l

解 设棒的线密度为 λ ,取一距离转轴 OO′ 为 处的质量元 dm = λdr dJ = r 2 dm = λr 2 dr

r

1 3 J = 2λ ∫ r dr = λl 0 12 1 = ml 2 12l/2 2

如转轴过端点垂直于棒

1 2 J = λ ∫ r dr = ml 0 3l 2

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第三章 刚体的转动

3 – 2 转动定律 转动惯量 平行轴定理

半径为R、质量为 的圆环 的圆环， 例3-2 半径为 、质量为M的圆环，绕垂直于圆 环平面的质心轴转动，求其转动惯量。 环平面的质心轴转动，求其转动惯量。 z 任取一质量元dm 解：任取一质量元

dJ = R 2 dm圆环对垂直于环面的质心 轴的转动惯量为 O R dm

J = ∫ dJ = ∫ R dm = MR2 0

M

2

一质量为m、半径为R的均匀圆盘 的均匀圆盘， 例3-3 一质量为 、半径为 的均匀圆盘，求通过 盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 . 在盘上取半径为r, 解 设圆盘面密度为σ,在盘上取半径为 ，宽为 dr的圆环 的圆环

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第三章 刚体的转动

3 – 2 转动定律 转动惯量 平行轴定理

圆环质量

dm = σ 2 rdr3

圆环对轴的转动惯量

dJ = r dm = 2 σr dr R σ 3 4 J = ∫ 2π σ r dr = π R 02

R R

O

r dr

2

而 注意

σ =m π R

2

所以

1 2 J = mR 2

转动惯量的大小取决于刚体的质量、 转动惯量的大小取决于刚体的质量、 质量 形状及转轴的位置。 形状及转轴的位置。

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第三章 刚体的转动

3 – 2 转动定律 转动惯量 平行轴定理

平行轴定理 质量为m的刚体 的刚体， 质量为 的刚体，如果对 其质心轴的转动惯量为JC ,则 对任一与该轴平行，相距为d 对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量

dC

m

O

J O = J C + md1 J P = mR2 + mR2 2

2

圆盘对P 圆盘对 轴的转动惯量 P

R O m

四 转动定律应用举例 对平动的物体应用牛顿定律； 对平动的物体应用牛顿定律；对转动的物体应 用转动定律；建立平动与转动之间的关系。 用转动定律；建立平动与转动之间的关系。

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3 – 2 转动定律 转动惯量 平行轴定理

如图， 例3-4 如图，轻绳绕过水平光滑桌面上的定滑 连接两物体A和 ， 、 的质量分别为为 的质量分别为为m 轮C连接两物体 和B,A、B的质量分别为为 A、 mB, 连接两物体 滑轮视为圆盘，其质量为m 半径为 滑轮视为圆盘，其质量为 C、半径为 R

,AC水平并与 水平并与 轴垂直，绳与滑轮无相对滑动，不计轴处摩擦， 轴垂直，绳与滑轮无相对滑动，不计轴处摩擦，求B 的加速度，以及AC、 间绳的张力大小 间绳的张力大小。 的加速度，以及 、BC间绳的张力大小。 物体A、 解： 物体 、B C 作平动，滑轮作转动。 作平动，滑轮作转动。 A mA mC 隔离物体分别对物体 A、B 及滑轮作受力 、 分析， 分析，取合适的坐标 系，运用牛顿第二定 mB B 律 、转动定律列方 程。

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第三章 刚体的转动

3 – 2 转动定律 转动惯量 平行轴定理 C 物体A、 作平动 作平动， 解： 物体 、B作平动， 滑轮作转动。 滑轮作转动。 隔离物体分 别对物体A、 别对物体 、B 及滑轮作 受力分析，取坐标如图， 受力分析，取坐标如图， 运用牛顿第二定律 、转 动定律列方程。 动定律列方程。

A

mA v FN v mA FT1 v O x PA

v FT1

mC v ′ FT2

mB Bv ′ FT2 mB v PB yO

FT1 = mA amB g FT2 = mB aRFT2 RFT1 = Jβ

v ′ FT1v PC

v FC

v FT2

a = Rβ

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3 – 2 转动定律 转动惯量 平行轴定理

1 2 J = mC R 2 mB g a= mA + mB + mC 2 mA mB g FT1 = mA + mB + mC 2( m A + mC 2 ) m B g FT2 = m A + m B + mC 2如令 mC

A mA

v FT1

C

mC v ′ FT2

mB BmA mB g FT1 = FT2 = mA + mB

= 0,可得

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第三章 刚体的转动

3 – 2 转动定律 转动惯量 平行轴定理

若 考虑滑轮与轴承间的摩擦力 矩Mf ,转动定律

RFT2 RFT1 M f = Jβ结合上面的其它方程

v ′ FT1Mf

v FT2v FN

FT1 = mA amB g FT2 = mB a

v ′ FT2mBv PB

RFT2 RFT1 M f = Jβ

a = Rβ

mA v FT1 v PA

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第三章 刚体的转动

3 – 2 转动定律 转动惯量 平行轴定理 A mA

FT1 = mA amB g FT2 = mB aRFT2 RFT1 M f = Jβ

v FT1

C

mC v ′ FT2

a = RβmB g M f R a= mA + mB + mC / 2

mB B

mA (mB g M f / R) FT1 = mA + mB + mC / 2

mB [(mA + mC 2) g + M f R] FT2 = mA + mB + mC 2