最新有解答广东工业大学 第二学历 线代复习题

广东工业大学 第二学历《线性代数》复习参考题 一、单选题

1．设1333231232221

131211

==a a a a a a a a a D ，那么==33

3132

232122

13

1112222a a a a a a a a a D （ B ）． A ．2 B ．2- C ．8- D ．8

2．设133

32

31

232221

131211

==a a a a a a a a a D ，那么=+++=33

32

31

231322

1221

1123

2221222a a a a a a a a a a a a D （ B ）．

A ．1

B ．1-

C ．2

D ．2-

3．设有矩阵n m A ⨯、t s C ⨯，若ABC 有意义，则矩阵B 为（ B ）． A ．t m ⨯阵 B ．s n ⨯阵 C ．s m ⨯阵 D ．t n ⨯阵

4．设有矩阵n m A ⨯、t s C ⨯，若C AB T

有意义，则矩阵B 为（ C ）． A ．t m ⨯阵 B ．s n ⨯阵 C ．n s ⨯阵 D ．t n ⨯阵

5．齐次线性方程021=+++n x x x 的基础解系中解向量个数为（ C ）． A ．0 B ．1 C ．1-n D ．n 6．齐次线性方程⎩⎨

⎧

=+++=+++0

22220

43214321x x x x x x x x 的基础解系中解向量个数为（ C ）．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

7．在线性方程组b Ax =中，A 是45⨯阵，如果系数矩阵A 与增广矩阵()b A ,的秩均为4，则b Ax =（ A ）．

A ．有唯一解

B ．有无穷解

C ．无解

D ．无法确定是否有解 8．设A 是54⨯阵，且4)(=A R ，则下列结论正确的是（ C ）． A ．A 的所有三阶子式都为0 B ．A 的所有四阶子式都不为0 C ．A 可能有等于0的四阶子式 D ．A 的列向量线性无关 9．设A 与B 是两个相似的n 阶方阵，则（ A ）．

A ．存在非奇异矩阵P ，使

B AP P =-1

B ．存在对角矩阵D ，使A 、B 都相似于D

C ．矩阵A 一定可对角化

D ．B

E A E -=-λλ 10．设A 与B 是两个相似的n 阶方阵，则以下不一定成立的是（ D ）． A ．B A = B ．A 与B 有相同的特征多项式 C ．)()(B R A R = D ．A 与B 均可逆 二、填空题

1．已知011

1111111

11

1101

=-------x ，则=x 0 ． 2．在x 的一次多项式111111

11111

1101

)(-------=x x f 中，x 的系数为 -4 ． 3．设行列式12

0143

2101

1282

41-=D ，则=++1413112A A A 0 ． 4．设行列式120143

2101

1282

41-=D ，则=+++34333231432A A A A D ．

5．若1α、2α、3α同为2维的列向量，则1α、2α、3α必为线性 相 关．

6．在一个同维向量组A 中，如果有部分向量线性相关，则A 必为线性 相 关组．

7．若()310，，=α，()221，，=β，()020，，-=k γ是3维行向量空间3

R 的基，则常数k 满足 2≠k ．

8．若()122，，-=α，()031，，=β，()100-=k ，，γ是3维行向量空间3

R 的基，则常数k 满足 1≠k ．

9．n 维向量组()000011，，，，， =α，()000022，，，，， =α，…，()0000，，，，，

n n =α的秩为 1 ．

10．n 维向量组()000011，，，，， =α，()000212，，，，， =α，…，()n n n ，，，，，1321-= α的秩为 n ．

11．设四元非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵A 的秩为3，已知它的3个解向量为

321,,ηηη，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321,5432321ηηη，则该方程组的通解为 ()132121ηηηη+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-c （c 为任意常数） ．

12．设四元非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵A 的秩为3，已知它的3个解向量为

321,,ηηη，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0864,2143321ηηη，则该方程组的通解为()132121ηηηη+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-c （c 为任意常数）．

13．若三阶方阵A 的特征值为1，1和2-，则=-1A 21-，=-+3243E A A 0 ． 14．设A 是三阶方阵，且03=+A E ，023=+A E ，03=-A E ，则=++32E A A 9 ．

三、计算题

1．计算矩阵的乘积⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222642321．2．计算矩阵的乘积⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛421421634221． 3．计算行列式a

a

a a

111111111111． 解

a a

a a

a a

a

D 1131131131113++++=()()()()313100001000

0101111311113-+=---+=+=a a a a a a x

a a a

x a a

a x a a a a 4．若行列式01111

111

111

11==x x x x D ，求x ． 解 x x x

x x x x D 113

11311

311

13++++=

()

()

()()0

131

00

1

0000

1

0111131111

111111

11133

=-+=---+=+=x x x x x x x

x

x

x

所以，3-=x 或1=x .

5．当a 为何值时，向量组()0111，，=α，()1312-=，，α，()a ，，

353=α线性无关？ 解

()

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a T

T T

103315113

21ααα

，，⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→1001105111011051110220511

a a a 由向量321ααα，，线性无关，知3)(321=T

T

T

R ααα，，， 即，1≠a

6．当a 为何值时，向量组()13111，，，=α，()42132，，，-=α，()a ，，，

6223=α线性无关？ ()

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=a T

T T

4

1

62321

-12313

21ααα

，，⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛--→000

20001023

1210

7004-0231a a

由向量321ααα，，线性无关，知3)(321=T

T

T

R ααα，，， 即，2≠a

7．求出参数k 的值，使得⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛---2212013

01

21

k

的秩为2． 解

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

---→⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛---00

5

0237

012123

20237

012122120130121

k k k

又矩阵的秩为2，所以5=k

8．求出参数k 的值，使得⎪⎪⎪

⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛

-154

1

403102110

01k 的秩为3．

解

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛+-→

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-001

0450

0101

010

14500

1001010

1001

0540

1002020

10

011541403102110

01k k k k 又矩阵的秩为3，所以1-=k

9．求解矩阵方程X A AX +=，其中⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=010312022A ．

解若A 可逆，则()A E A X 1

--=，

()⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=-01

1

10312302

022021

A E A

⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→010110312

100

002201

01011033

2340022021 ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛---→31

2

1

302010

62200131

2

10

0010

1

10002201

所以，⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛----=312302

622

X 10．求解矩阵方程XA X A =+，其中⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛-=200012

03

1A ． 解 由XA X A =+，得()A E A X =-，则()T T

T

A X

E A =-，

()

()

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝

⎛--=-20

1

0013003021020T

T

A E A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛-

→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛--→20

1

00121010

03

1100120

1

0021020013003

所以，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=2000131021120001210311T X 11．当a 为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+a x x x x x x x x x x x x 4321

432143212312022有解？并在方程有多解时，求出

其通解．

()=b A ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------a a 5150151500212112131111202121 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→1000051151105205301100001515002121a a 当1=a 时，)()(A R Ab R =，方程有解，同解方程组为⎪⎩

⎪⎨⎧-+=-=5151525343231x x x x x ， 通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=005152101001515321c c x 21c c 、为任意常数. 12．当a 为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+--=++-a x x x x x x x x x 321

32132122222有解？并在方程有多解时，求出其通

解．

解 ()=b A ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----a a 2112112212121121212112

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----→400063302121233063302121a a

当4=a 时，)()(A R Ab R =，方程有解， 此时，()⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000021102101000021102121b A 同解方程组为⎩⎨⎧+=+=223231x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=022111c x c 为任意常数. 13．设A 与B 相似，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A 10100001，⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-=10000

001y B ， （1）求参数x 、y 的值；

解（1）由B A ~，1-=A ，y B -=，可得1=y ，

又)()(B tr A tr =，即y x =+1，所以0=x .

（2）求可逆矩阵P ，使得AP P B 1-=． A 的特征向量方程组为⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0001010

001321x x x λλλ

A 的特征值为

B 的对角元1，1，-1

对于特征值121==λλ的特征向量满足032=-x x ，1x 取任意常数，取得两个线性无关的特征向量：

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=0011p ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1102p

对于特征值13-=λ的特征向量满足⎩⎨⎧=--=-002321x x x ，取得特征向量：⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=1103p ，

所以，可逆矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=110110

001P ，检验得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1000100011AP P . 14．设A 与B 相似，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A 10100002，⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-=10000

002y B ， （1）求参数x 、y 的值； 解 由B A ~，2-=A ，y B 2-=，可得1=y ，

又)()(B tr A tr =，即122-+=+y x ，所以0=x .

（2）求出A 的所有特征向量．

A 的特征向量方程组为⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0001010002321x x x λλλ

A 的特征值为

B 的对角元-1，1，2

对于特征值11-=λ的特征向量满足⎩⎨⎧=--=-003321x x x ，取得特征向量：⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=1101p ，11-=λ的全部特征向量为11p c （1c 为任意常数）.

对于特征值12=λ的特征向量满足⎩⎨⎧=-=-00321x x x ，取得特征向量：⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=1102p ，12=λ的全部特征向量为22p c （2c 为任意常数）.

对于特征值23=λ的特征向量满足⎩⎨⎧=+-=-042023232x x x x ，取得特征向量：⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=0012p ，23=λ的全部特征向量为33p c （3c 为任意常数）.

四、证明题

1．设三阶矩阵A 可逆，证明其伴随矩阵*A 也可逆．

证：由A 可逆，知0≠A ， 则02

131*≠===--A A A A A A ，

所以，*A 也可逆.

2．设矩阵A 可逆，证明其转置矩阵T A 也可逆．

证：由A 可逆，知0≠A ， 则0≠=A A T ，

所以，*A 也可逆.

3．证明：n 阶方阵A 和其转置矩阵T A 必有相同的特征值．

证：由于()()()T

T T T A E A E A E -=-=-λλλ， 两边取行列式得，()

T T A E A E -=-λλ，又()A E A E T -=-λλ， 所以，T A E A E -=-λλ

即A 和其转置矩阵T A 有相同的特征多项式，则它们必有相同的特征值.

4．设n 阶方阵A 与B 相似，且A 可逆，证明B 也可逆，且1-A 与1-B 相似． 证：由B A ~，A 可逆，可得0≠=A B ，

所以B 也可逆.

对于矩阵B ，存在非奇异矩阵P ，使得AP P B 1-=，

于是，()P A P AP P B 111

11-----==，即11~--B A 5．设n 阶方阵A 与B 相似，证明：方阵多项式)(A f 与)(B f 必相似，其中∑==m k k k x a x f 1)(．

证：由方阵多项式的定义知， ∑==m k k

k A a A f 1)(，∑==m

k k k B a B f 1)( 由AP P B 1-=，得()()()P A P AP P AP P AP P B k

k 1111----== ，

所以，()

)()(111111B f B a P A P a P A a P

P A f P m k k k m k k k m k k k ∑∑∑==-=--====。