2.3高阶导数及相关变化率

★上讲内容回顾(1)(1)四则运算求导法则 [Cu( x )] Cu ( x ) [ u( x ) v ( x )] u ( x ) v ( x ) [ u( x )v ( x )] u ( x )v ( x ) u( x )v ( x ) [ u( x ) u ( x )v ( x ) u( x )v ( x ) ] v( x ) v2 ( x)

求 导 法 则 及 方 法

1 dy 1 或 f ( x ) dx dx dy ( 3)复合函数求导法则： ( f [ ( x )] ) f [ ( x )] ( x ) ( 2)反函数求导法则： [ f 1 ( x )] ( 4)隐函数求导: 在方程两边直接求导 dy y ( t ) ( 5)参数方程求导： dx x ( t ) ( 6)对数求导法: 方程两边取对数再求导 数

★上讲内容回顾(2)C 0 ( x ) x 1(arcsin x ) (arccos x ) 1 1 x2 1(a x ) a x lna (e x ) e x 1 1 (log a x ) (ln x ) x ln a x(si nx ) cos x (cos x ) si nx (tan x ) se c2 x (cot x ) csc2 x( shx ) chx ( chx ) shx ( thx ) 1 ch2 x

常 用 基 本 求 导 公 式

1 x2 1 (arctan x ) 1 x2 1 ( arc cot x ) 1 x21 1 x2 1 x 12

( arcshx) (ln(x 1 x 2 )) ( arcchx) (ln(x x 2 1 ))

( x 1)

1 1 x 1 ( arcthx) ( ln ) ( x 1) 2 2 1 x 1 x

2.3 高阶导数及相关变化率2.3.1 高阶导数 2.3.2 相关变化率

2.3.1 高阶导数1、高阶导数的概念

引例:变速直线运动的加速度。设 s f ( t ), 则瞬时速度为v(t ) f ( t )

加速度a是速度v对时间t的变化率 a(t ) v (t ) [ f (t )]

定义 如果函数f ( x )的导数f ( x )在点x处可导,即f ( x x ) f ( x ) ( f ( x )) lim x 0 x 存在,则称( f ( x )) 为函数f ( x )在点x处的二阶导数。d2 y d 2 f ( x) 记作： f ( x )或y 或 2 或 。 2 dx dx

类似地, 可定义三阶导数、四阶 导数 , 一般地,

n 1阶导数的导数称为 n阶导数, 分别记作:y , y(4) , , y( n) 或f ( x ), f (4) ( x ), , f ( n ) ( x )

d3 y d4 y dny d3 f d4 f dn f 或 3 , 4 , , n 或 3 , 4 , , n dx dx dx dx dx dx

即： y [ y( n)

( n 1 )

]

d ( n 1) (y ) dx

( n 0,1, 2, )

注：1.二阶及二阶以上的导数称为高阶导数。

; 约定: y 称为函数y的一阶导数y称为函数y的零阶导数,即y y ( 0)。2.函数 f(x)在点x处具有n阶导数,也常说成 f(x)在 点x处n阶可导, 而且当 f(x)在点x处n阶可导时, 蕴涵着在x的某邻域内一切低于n阶的导数都 是存在且连续的。

2、高阶导数的计算 1)直接法：即由高阶导数的定义逐步求高阶导数。 例1 y ln( x x 2 1), 求 y 。 1 解 y , 2 x 1 3 1 x 1 2 2 2 3 y (( x 1) 2 ) ( x 1) 2 x 2 2 ( x 1 ) 2 3 52 32 2 2 y ( x

1) x ( ) ( x 1) 2 x 2 2 5 2 x 1 2 2 2 2 ( x 1) ( ( x 1) 3 x ) 2 5 ( x 1) 2

例2 计算下列函数的 n阶导数： (1)e x ( 2) sin x ( 3) ln( 1 x ) (4) x 解 (1)( e x )( n) e x

( 2) y (sinx ) cos x sin( x

一般： ( a x )( n) a x (ln a) n )

2 y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 ) 2 2 2 2 y cos( x 2 ) sin( x 3 ) 2 2 ( n) ( n) y (sin x ) sin( x n ) 2 ( n) 同理可得 (cos x ) cos( x n ) 2

注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合 并,分析结果的规律性,写出n阶导数。(数学归纳 法证明)

( 3)设 y ln( 1 x)1 则y 1 x

1 y (1 x ) 2

2! y (1 x ) 3

y

(4)

3! 4 (1 x ) [ln( 1 x )]( n)

( 1)n 1

y

( n)

( n 1)! ( n 1, 0! 1) n (1 x )

(4)设 y x ( R)y x 1 y ( x 1 ) ( 1) x 2 y ( ( 1) x 2 ) ( 1)( 2) x 3

y ( n) ( 1) ( n 1) x n (n 1)

若 为自然数n, 则

y

( n)

( x ) n! ,n ( n)

y ( n 1) ( n! ) 0

注 1)直接法求n阶导数一般适用于阶数不太高,如 n<5时。 2)我们用直接法求出了一些高阶导数的基本公 式,应该记住：(1) (a x )( n) a x lnn a (a 0)( 2) (sin kx )( n) ( n)

k sin( kx n n n

2

( e x )( n ) e x) )

2 (4) ( x )( n) ( 1) ( n 1) x n 1 ( n) n n! ( n) n 1 ( n 1)! ( ) ( 1 ) (5) (ln x ) ( 1) n 1 n x x x ( n) n 1 ( n 1)! [ln( 1 x )] ( 1) ( n 1, 0! 1) n (1 x )

( 3) (cos kx )

k cos( kx n

例3解

dx 1 d2x y 试从 推出 2 dy y dy ( y )3

d 2 x d dx d 1 ( ) 2 dy dy dy dy y

d 1 dx ( ) dx y dy 1 1 d ( y ) 2 y ( y ) dx y 1 y 2 ( y ) y ( y ) 3

1 注意 : w 应视为由 y w w( y ), y y ( x ), x x( y) 复合而成

2)间接法 ★ 高阶导数的运算法则

设函数 u和v具有n阶导数 ,则( 2) (Cu)( n) Cu( n) n( n 1) ( n 2 ) ( n) ( n) ( n 1 ) ( 3) ( u v ) u v nu v u v 2! n( n 1) ( n k 1) ( n k ) ( k ) u v uv ( n ) k!k ( n k ) ( k ) Cn u v k 0 n

(1) ( u v )( n) u( n) v( n)

莱布尼兹公式

所谓间接法,即利用已知的高阶导数公式, 通过运 算法则, 变量代换等方法, 求出n阶导数。

例4 计算下列函数的 n阶导数：2x 1 (1) y x sin 3 x ( 2) y sin x cos x ( 3) y 2 x x

22 6 6

解 (1) y( n) ( x 2 sin 3 x )( n)v莱布尼兹公式

u

(sin 3 x )( n) x 2 n(sin 3 x )( n 1) ( x 2 ) n( n 1) (sin 3 x )( n 2 ) ( x 2 ) 2!

n 1 2 3 sin( 3 x n ) x n3 (sin 3 x ( n 1) ) 2 x 2 2 n( n 1) n 2 3 (sin 3 x ( n 2) ) 2 2! 2n

( 2) y sin6 x cos6 x2 3 2 3 解 y (sin x ) (cos x )

(sin x cos x )(sin x sin x cos x cos x )2 2 4 2 2 4

(sin2 x cos2 x )2 3 sin2 x cos2 x3 2 3 1 cos 4 x 1 sin 2 x 1 4 4 2 5 3 cos 4 x 8 8 3 n (n) y 4 cos( 4 x n ) 8 2

2x 1 ( 3) y 2 x x 2 5 1 解 y 2x 1 3 3 x2 x 2 x 2 x 1 5 1 1 ( x 2) ( x 1) 1 3 3 3 ( n) y ( 1)( 2) ( n)( x 2) 1 n 5 1 ( 1)( 2) ( n)( x 1) 1 n 3 注 计算高阶导数一般比较麻烦,多使用间接法,使 用时,应根据给出的函数先予以化简变成基本公 式中的形式(如(2)(3)),然后再套用公式计算。