3.2.1圆的对称性(垂径定理)

九年级数学(下) 第三章 圆

圆对称性(1) 3.2 垂径定理

学习目标1、认识弧、弦、直径、优弧、劣弧的概念； 2、理解圆的轴对称性； 3、掌握垂径定理 ； 4、能利用垂径定理进行圆的半径、弦长、弦心 距之间的相关计算。 5、了解圆的两条平行弦所夹的弧相等

自学指导认真自学课本P96—P98的内容，注意：

1、圆是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？对 称轴分别是什么？ 2、理解并识记圆弧(优弧、劣弧)、弦、直径的定 义，思考怎么用符号表示以A、B为端点的弧(优弧、 劣弧的表示法相同吗？借助课本P97下面注释部分); 3、完成P97页的做一做，写出你所得到的结论，并试 着用自己的语言叙述下来；自学过程中，如有疑问可以小声问同桌或举手问老师

8分钟以后比一比看谁能准确地做出练习题

3.2 圆的对称性 圆是轴对称图形.

圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它 有无数条对称轴.或任意一条直径所在的直线都 是圆的对称轴。 可利用折叠的方法即可解决上述问题.任意一条直径都是圆 的对称轴( )●

O

检测一判断题： 1、直径是弦( √ ) 2、弦是直径( ×) 3、直径是圆中最长的弦( √ ) 4、半圆是弧，但弧不一定是半圆(√ ) 5、在圆中一条弧所对的弦只有一条，一条弦所 对的弧也只有一条 ( × )

垂径定理

⌒ AmBAB是⊙O的一条弦.

作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?C M└●

A

B O

你能发现图中有哪些等量关系? 与同伴说说你的想法和理由.

题设D 由

结论可推得

① CD是直径 ② CD⊥AB

③AM=BM,

⌒ ⌒ ④AC=BC,⌒ ⑤AD=BD. ⌒

垂径定理

如图,小明的理由是: 连接OA,OB, 则OA=OB.

在Rt△OAM和Rt△OBM中, A ∵OA=OB,OM=OM, ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,

C

M└●

B O

D

∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ 重合, ⌒ AC和BC重合, ⌒ AD和BD重合.

⌒ =BC, ⌒ AD ⌒ =BD. ∴AC

⌒

垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧.题设(1)直径

结论

(2)垂直于弦

}

{

(3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧

(5)平分弦所对的劣弧

垂径定理三种语言

定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.C

如图∵ CD是直径, CD⊥AB,B O

A

M└●

∴AM=BM,

⌒ =BC, ⌒ AC ⌒ ⌒ AD=BD.

D

老师提示: 垂径定理是 圆中一个重 要的结论,三 种语言要相 互转化,形成 整体,才能运 用自如.

在下列图形中，你能否利用垂径定理 找到相等的线段或相等的圆弧DAB E A

O

O

C

E

O

AA

E C

BC

B

DO E C B

OD

A

E D

B

A

E C

B

检测二1 .如图，已知在⊙O中，弦AB的长 8厘米，圆心O到AB的距离为 3厘米，求⊙O的半径。 (注：从圆心到弦的距离叫做弦心距) 2、如图，两个圆都以点O为圆心，小 圆的弦CD与大圆的弦AB在同一直线 上，你认为AC与BD的大小有什么关O A C E D B

A

E

. O

B

系？试说明理由。(圆心相同，半径不等

的两个圆叫做同心圆)