《名师伴你行》人教A版学案三__对数与对数运算

开始

学点一

学点二学点三

学点四 学点五

1.如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做 以a为底N的对数 , 记作 x=logaN ,其中a叫做 对数的底数 ，N叫 做 真数 .

2.对数的性质:(1)1的对数等于 0 ; (2)底数的对数等于 1 ; (3)零和负数没有 对数 . 3.以10为底的对数叫做 常用对数 ,log10N记作 lgN 4.以无理数e=2.718 28…为底的对数称为 logeN记作 lnN . .

自然对数 ，

返回

log a N logbN= log a b 6.对数换底公式为5. alogaN= N . (1)loga(MN)= loga(N1N2…Nk)=M (2)loga N =

.

7.如果a>0,且a≠1,M>0;N>0,那么：

logaM+logaN ; logaN1+logaN2+…+logaNk ;logaM-logaN nlogaM ; .

(3)logaMn=

返回

学点一

不查表计算对数值

计算下列各式的值:

(1) 2(lg 2 )2 lg 2 lg5 (lg 2 )2 lg2 1;(2)

3

1 log 3 6

2

4 log 2 3

10

3lg3

(3)(lg2)3+(lg5)3+3lg2· lg5; 8 1 (4)lg500+lg - lg64+50(lg2+lg5)2. 5 2

1 log; 4 1 ( ) 93

【分析】根据对数的运算性质创造条件，灵活地加以应用.

返回

【解析】(1)原式= lg 2 (2lg 2 lg5) (lg 2 1) lg 2 (lg2 lg5) 1 lg 2 lg 2 1 lg 2 1

2

(2)原式= 3 3

lg 3 6

16 2

lg 2 3

10

lg27

3

2 lg 316

9 18 48 27 16 39 16 (3)原式=(lg2+lg5)[(lg2)2-lg2· lg5+(lg5)2]+3lg2· lg5=(lg2)2-lg2· lg5+(lg5)2+3lg2· lg5

=(lg2+lg5)2=1.

返回

(4)解法一：原式=lg(500×85)-lg

64 +50[lg(2×5)]2

=lg800-lg8+50 800 =lg +50=lg100+50=2+50=52. 8 1 解法二：原式=lg5+lg100+lg8-lg5- 2 lg82+50 =lg100+50=52. 【评析】(1)对于有关对数式的化简问题，解题的常 用方法：①“拆”:将积(商)的对数拆成两对数之和 (差);②“收”:将同底的和(差)的对数收成积 (商)的对数. (2)分是为了合，合是为了分，注意本例解法中的拆 项、并项不是盲目的，它们都是为了求值而进行的.

返回

计算下列各式的值:(1)lg52+2 lg8+lg5· lg20+(lg2)2; 3

(2) lg 2 lg3 - lg 10lg1.8log 5 2 log 71 3 9

;

(3)

log 5 log 7 3 4

log 22 ( 3 5 3 5 )2

返回

(1)原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2 =2lg10+(lg5+lg2)2=2+(lg10)2=2+1=3.18 1 (lg2 lg9 - lg10) lg 10 lg1.8 1 . (2)原式= 2 lg1.8 2lg1.8 2lg1.8 2

(3)原式=

log 1 23

log 5 log 51 3

1 3

log 4 93

log 4 7 log 7 3 43 3

log 2 ( 3 5 3 5 ) 22

log

1 3

2 log 4 9 log 4 (3 5 3 5 2 9 5 )

3 3 1 log 4 2 1 2 2 2

返回

学点二

求值问题

已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1,求lg 45 的值.

【分析】解本题的关键是设法将45的常用对数分解为 2,3的常用对数,再代入计算.

1 1 90 【解析】解法一: lg 45 = 2 lg45= 2 lg 2 1 = (lg9+lg10-lg2)2 1 = (2lg3+1-lg2) 2 1 1 =lg3+ - lg2 2 2

=0.4

77 1+0.5-0.150 5 =0.826 6.

返回

1 1 解法二:lg 45 = lg45= lg(5×9) 21 2 = 2 (lg5+2lg3)1 = (1-lg2+2lg3) 2 = 1 - 1 lg2+lg3=0.826 6. 2 2

【评析】在运算过程中注意运算法则的正确运用,体 会lg2+lg5=1性质的灵活运用.

返回

(1)用lg2和lg3表示lg75;(2)用logax,logay,logaz表示loga

x4 3 y 2 z xyz 3

.

(1)原式=lg(25×3)=lg(52×3)=2lg5+lg3 10 =2lg( )+lg3=2(1-lg2)+lg3=2-2lg2+lg3. 2 2 (2)原式=loga(x4·3 y z )-loga xyz 3 1 1 2z)=4logax+ loga(y loga(xyz3) 3 2 1 1 =4logax+ (2logay+logaz)- (logax+logay+3logaz) 2 31 7 7 = logax+ logay- logaz. 2 6 6

返回

学点三

条件求值

已知log189=a,18b=5,求log3645.【分析】利用对数换底公式和其他对数公式变形. 【解析】解法一：∵log189=a,18b=5,∴log185=b,

于是log3645=

a b a b log 18 9 log 18 5 18 2 - a 1 log 18 2 1 log18 9 b=5,∴log 5=b, 解法二：∵log189=a,18 18

log 18 45 = log18 (9 5) log 18 36 log18 (18 2)

于是log3645 log18 (9 5) log18 9 log18 5 = 182 2log18 log18 9 log18 9

a b . 2-a

返回

【评析】(1)解决这类问题，要注意分析条件和所 求式子之间的联系，找到联系就找到了思路. (2)当出现多个不同底的对数时，往往要用换底公 式统一成适当的同底来解决，要有“化同底”的意识.

(3)题中利用了“方程组”的观点，把log32,log35作 为两个未知数处理.

返回

(1)已知6a=27,求log1618; (2)已知log310=a,log625=b,求log445. (1) ∵6a=27,∴a=loglog 2 27 3log2 3 , 627= log 6 1 log 2 3 2

a ∴log23= . 3-a log 2 18 1 2log2 3 3 a ∴log1618= . log 2 16 4 4( 3 a ) (2)a=log310=log32+log352log3 5 b=log325log36= 1 log 3 2

① ②

2a - b ab b 由①②可知log32= 2 b ,log35= . b 2 于是log445 = log 3 45 2 log 3 5 ab 3b 4log 3 4 2log3 2 2(2a - b)

.

返回

学点四

对数方程

已知log3(x-1)=log9(x+5),求x. 【分析】对简单的对数方程，同底法是最基本的求解方法， 利用换底公式可得logaN=loganNn(N>0,n≠0). 【解析】原方程可化为log9(x-1)2=log9(x+5), ∴(x-1)2=x+5,∴x2-3x-4=0, 解得x=-1或x=4. 将x=-1,x=4分别代入方程,检验知x=-1不合题意，舍去. ∴原方程的根为x=4. 【评析】注意解题的等价变形，如本题中将log3(x-1)化 为log9(x-1)2,实质上是非等价变形，扩大了定义域， 因此，在解对数方程后要验根.

返回