大学微积分第七章习题答案

这是大学微积分教材课后习题详解答案。

习题七

（A）

1.求下列函数的定义域,并画出定义域的图形： (1)z

x

y； (2)z arcsin

xy

2

；

(3)z ln(y x)

x x y

2

2

；

(4)z R x y

222

1x y r

2

2

2

(0 r R).

解 (1) (x,y)y 0,x

2

2

y；(2) (x,y)y 0, y x y

2

2

2

2

22

；

(3) (x,y)y x,x y 1 ；(4) (x,y)r x y R2.设f(x y,

yx

) x y,求f(x,y).

2

2

.

u x x y u 1 v,代入得 解 设 y,解得

uv v

y x

1 v

f(u,v) f(x y,

yx

) x y (

2

2

u1 v

) (

2

uv1 v

)

2

u(1 v)1 v

2

,即

f(x,y)

x(1 y)1 y

2

.

3.设z x y f(x y),且当y 0时,z x.求函数f和z的表达式. 解 由题意知,z x y f(x y) x f(x) x,整理得f(x) x x. 又f(x y) (x y) (x y),代入得z x y f(x y) 2y (x y).

4.若函数z f(x,y)恒满足f(tx,ty) tf(x,y),则称该函数为k次齐次函

k

2

2

2

2

2

这是大学微积分教材课后习题详解答案。

数.证明下列函数为齐次函数,并说明是几次齐次函数: (1)f(x,y) x4 3x2y2； (2)f(x,y)

1x y

；

(3)f(x,y) xe

3

yx

； (4)f(x,y) ln

x y xx y x

2

2

22

.

解 (1)因f(tx,ty) (tx)4 3(tx)2(ty)2 t4f(x,y),所以是4次齐次函数. (2)因f(tx,ty)

1tx ty

3

1

t

tytx

f(x,y),所以是 1次齐次函数.

(3)因f(tx,ty) (tx)e (4)因f(tx,ty) ln

3

tf(x,y),所以是3次齐次函数. 22

2

(tx) (ty) tx(tx) (ty) tx

2

f(x,y),所以是0次齐次函数.

5.求下列函数在给定点处的偏导数: (1)z

xy(x y)x y

x y

2

2

22

22

(1,1),z y(1,1)； ,求z x

(2)z e (3)z

3

(0,1),z y(1,0)； ,求z x

2

(1,1),z y(1,2)； x y,求z x

y2x

2

2

(4)z ln(x

),求z (1,0),z y(1,0). x

2

2

2

2

2

解 (1)z x

[y(x y) xy2x](x y) 2xxy(x y)

(x y)

y[x y 4xy]

(x y)

2

22

2

2

4

4

2

2

2

2

2

,

z y

[x(x y) xy2y](x y) 2yxy(x y)

(x y)

2

2

2

2222

这是大学微积分教材课后习题详解答案。

x[x y 4xy]

(x y)

2

2

2

4422

,

则z (1,1) 1,z y(1,1) 1. x

x

(2)z 2xex

2

y

2

, z y 2yex

2

23

2

y

2

,则z (0,1) 0,z y(1,0) 0. x

2

2

23

(3)z x

3

2x3

(x y)

2

, z y

2y3

(x y),则

z (1,1) x

23

,z y(1,2)

1x

y2x

(1

43515

.

1x

y2x

12x

12

(4)z x

y2x

), z y 2

(1,0) 1,z y(1,0) ,则z x

.

1 22

, (x y)sin2

2

6.函数f(x,y) x y

0,

fy (0,0).

(x,y) (0,0),(x,y) (0,0).

求fx (0,0),

解 fx (0,0) lim

f( x,0) f(0,0)

x

( x)sin

lim

x 0

2

1( x)

2

x 0

x

2

0,

fy (0,0) lim

f(0, y) f(0,0)

y

( y)sin

lim

x 0

1( y)

2

y 0

y

0.

7.求下列函数的一阶偏导数: (1)z

3y

2

1

3

x

ln5； (2)z arctan

x y1 xy

2

2

；

(3)z y(arcsiny)； (4)z ln

x

x y xx y x

2

2

；

这是大学微积分教材课后习题详解答案。

xz

(5)u ey ey； (6)z ex(cosy xsiny)； (7)u ()z； (8)u xy.

y解 (1)z x

13

43

x

z

x

3

,z y 6y.

(2)z x

1 (

1

x y1 xy1x y1 xy

)

2

1 xy (x y)( y)

(1 xy)

2

11 x

2

,

z y

1 (

)

2

1 xy (x y)( x)

(1 xy)

2

11 y

2

.

x

y(arcsiny)ln(arcsiny), z y (arcsiny (3)z x

xy y

2

)(arcsiny)

x 1

.

(4)z x

x y xx y x

2

2

22

(

y

2

2

2

) (

2

y

2

2

2

)

x yx y

2

2x y

2

2

(x y x)

2

,

2xy

z y

x y x

2

2

22

x y

2

2

22

2

y1y

2xx y

zy

e.

x y x(x y x)1y

x

y

e,u y

22

.

(5)u x

1y

2

xz

(xe

y

ze),u z

x

y

x

e(siny cosy xsiny),z y e( siny xcosy). (6)z x

(7)u x

zxzzxzxzx

. ()ln(),u y (),u z

yyyyxy

zy

z 1

(8)u x

x

y

,u y

zy

2

z

y

xlnx,u z

1y

z

xlnx.

y

这是大学微积分教材课后习题详解答案。

8.证明下列各题： (1)若z

x yx y

lnxy

,则x

z x

y

z y

0；

(2)若z xyyx,则x

z x

y

z y

z(x y lnz)；

(3)若z ln(nx

n

y)且n 2,则x

z x

y

z y

1n

；

(4)若u ln(tanx tany tanz),则

u x

sin2x

u y

sin2y

u z

sin2z 2；

(5)若u (y z)(z x)(x y),则

u x

u y

u z1y

0.

证明 (1)z x

x y (x y)(x y)

xy

2

ln

xyyx

x yx yxy

yx

2y(x y)

xy

2

ln

xy

x yx(x y)

z y

x y (x y)

(x y) z x

2

ln

x yx y

(

) 2

2x(x y)

2

ln

x yy(x y)

,代入

计算得x y

z y

x

0.

(2)z x yx z x y

z y

x 1y 1

xylny, z y x

yxy 1

y

x 1

yxlnx,代入计算得

xy

z(x y lnz).

(3)z x

1

n

x 1n

y

1n

1

xn

1

, z y

1

n

x

y

1n

1

yn

1

,代入计算得

x

z x

y

z y

.

这是大学微积分教材课后习题详解答案。

(4)u x

1

tanx tany tanz1

2

secx,u y

1

tanx tany tanz

secy,

2

u z

tanx tany tanz

u x

2

secz,代入计算得

sin2x

u y

sin2y

u z

sin2z 2.

(5)u ,u y (z x)(x y) (y z)(x z) x (y z)(y x) (y z)(z x),代入计算得u z (x z)(x y) (y z)(x y)9.求下列函数的全微分:

(1)z cos(xy)； (2)z xlny；

x yx y

22

22

u x

u y

u z

0.

(3)z arccot

； (4)z x2arctan

yx

2

yarctan

2

xy

；

(5)z (ex lny)2； (6)z ln (7)u z； (8)u 解 (1)dz sinxy(ydx xdy).

lnyx

lnxy

xy

3

2

x y；

2

2

2

x y z.

(2)dz d(elnylnx) xlny(

dx dy).

(2xdx 2ydy)(x y) (x y)(2xdx 2ydy)

2222

(3)dz

1

1x yx y

22

22

(x y)2

x yx y

22

22222

y

4

2

4

dx

yx y

4

4

dy.

xx y

这是大学微积分教材课后习题详解答案。

(4)dz 2xarctan

yx

dx x

2

11

yx

22

xdy ydx

x

2

2yarctan

xy

dy y

2

11

xy

22

ydx xdy

y

2

(2xarctan

yx

y)dx (x 2yarctan

xy

)dy.

(5)dz 2(ex lny)(exdx

1y

dy).

(6)dz

1x y

2

2

(xdx ydy).

xyz

(7)du d(e

23

xylnz

) z(ylnzdx xlnzdy

23

xy

dz).

(8)du (x y z)

222

(xdx ydy zdz).

10.求下列函数在给定条件下的全微分之值: (1)z

xyx y

2

2

；x 2,y 1, x 0.01, y 0.08；

22

(2)z ln(x y)；x 2,y 1, x 0.1, y 0.1；

xy

(3)z e；x 1,y 1, x 0.15, y 0.1.

解 (1)dz

(2,1)

(xdy ydx)(x y) xy(2xdx 2ydy)

(x y)

2

2

2

(2,1)

22

(2 0.08 0.01)(4 1) 4(2 0.01 0.08)

(4 1)

2

112

.

这是大学微积分教材课后习题详解答案。

(2)dz

(2,1)

2xdx 2ydyx y

xy

22

(2,1)

2 2 0.1 2 1 ( 0.1)

2 1

2

125

.

(3)dz

(1,1)

e(xdy ydx)

(1,1)

e(0.1 0.15) 0.25e.

11.计算下列各题的近似值:

(1)1.024.05； (2)(1.02)3 (1.97)3. 解 (1)令z xy,x 1,y 4, x 0.02, y 0.05.

dz

x(lnxdy

y

yx

(1,4)

dx)

(1,4)

4 0.02 0.08,则1.024.05 14 0.08 1.08.

(2)令z

2

33

x y,x 1,y 2, x 0.02, y 0.03.

dz

(1,2)

3(xdx ydy)2x y

3

3

(1,2)

2

3(0.02 4 0.03)

2 3

0.05,则

(1.02) (1.97)

33

8 0.05 2.95.

12.求下列复合函数的全导数或偏导数: (1)z u2lnv,u

yx

,v x2 y2,求

z x

,

z y

.

(2)u

e(y z)1 a

x

ax

2

,y asinx,z cosx,求

3

dudx

.

(3)z ln(e e),y x,求

x y z

2

2

2

y

dzdx

.

u x

(4)u e,z ysinx,求

2

,

u y

z uyx

.

(5)z

x

2

y

uv

,x u 2v,y v 2u,求,

z v

.

(6)z e,u lnx y,v arctan

22

,求

z x

,

z y

.

这是大学微积分教材课后习题详解答案。

解 (1)z ()2ln(x2 y2),则

x

y

z 2x

yx

(

)ln(x y) ()2 2

xxx y

2

y

22

y

2

2x2yx

3

2

[

x

2

2

2

x y

2

ln(x y)],

22

2yyy1y22y2222

[ ln(x y)]. z y 2()ln(x y) ()2 2222

xx yxxxx y

(2)u

dudx

11 a

2

e(asinx cosx)

1 a

[ae

ax

ax

2

,则

ax

(asinx cosx) e(acosx sinx)] esinx.

ax

(3)z ln(ex ey) ln(ex ex),则

x y (ysinx)

2

2

2

2

3

dzdx

4

2

e 3xee e

x

x

3

x2x

3

.

(4)u e

x

u ey

2

2

4

x

,则u ex

2

y ysin

2

x

(2x 2ysinxcosx),

4

y ysin

2

x

(2y 4ysin

2

32

x).

(5)z

(u 2v)v 2u

,则

zu

2(u 2v)(v 2u) (u 2v)2

(v 2u)

2

2

2u 12v 2uv

(v 2u)

22

22

,

zv

4(u 2v)(v 2u) (u 2v)

(v 2u)

2

2

16uv 9u 4v

(v 2u)y

2

2

.

(6)z e

lnx y

22

arctan

yx

xarctan

,则z x

22x y

ylnx y

22

e

lnx y

22

arctan

yx

,

yarctanz y

y

22x y

xlnx y

22

e

lnx yarctan

22

yx

.

这是大学微积分教材课后习题详解答案。

13.求下列方程所确定的隐函数的导数:

(1)x2 3y2 5xy； (2)sin(xy) x2y2 exy；

(3)ln

x y

2

2

arctan

yx

； (4)yx xy.

5y 2x6y 5x

解 (1)由2xdx 6ydy 5xdy 5ydx,得y .

(2)由cos(xy)(xdy ydx) 2xy2dx 2x2ydy exy(xdy ydx),得

y

yx

. xdx ydyx y

x

(3)由

22

x

2

2

2

x y

xdy ydx

x

2

,得y

x yx y

.

(4)由y(lnydx

xy

dy) x(lnxdy

y

yx

dx),得y

y xylnyx xylnx

2

2

.

14.求下列函数的全微分,其中f可微:

(1)z f(x,xy)； (2)z f(x2 y2,exy)； (3)u f(

yxyy

,)； (4)z f(xe,sin).

xyz

解 (1)dz f1 dx f2 (ydx xdy) (f1 yf2 )dx xf2 dy. (2)dz f1 (2xdx 2ydy) f2 e(xdy ydx)

xyxy

(2xf1 yef2 )dx (2yf1 xef2 )dy.

xy

(3)du f1

ydx xdy

y

2

f2

zdy ydz

z

2

1y

f1 dx (

1z

f2

xy

2

f1 )dy

yz

2

f2 dz.

这是大学微积分教材课后习题详解答案。

(4)dz f1 (eydx xeydy) f2 cos

y

(ef1

yx

xdy ydx

x1x

2

yx

f2 )dy.

yx

2

cos

yx

y

f2 )dx (xef1

cos

15.求下列方程所确定的隐函数z z(x,y)的全微分: (1)y2z arctan(xz2)； (2)xyz exz；

(3)sin2x cos2y2 sin2z3 1； (4)x y2 z3 ey ln(x2 z2). 解 (1)由ydz 2yzdy zdx 2yz(1 xz)dyy(1 xz) 2xz

2

2

4

2

2

4

2

11 xz

2

4

(zdx 2xzdz),得

2

dz .

(2)由yzdx xydz xzdy e(xdz zdx),得dz

xz

(ze

xz

yz)dx xzdyxy xe

xz

.

(3)由2sinxcosxdx 2cosy2siny2 2ydy 2sinz3cosz3 3z2dz 0,得

dz

13zsin2z

2

3

[ sin2xdx 2ysin2ydy].

2

(4)由dx 2ydy 3z2dz eydy

2xdx 2zdz(x z)

22

2

,得

dz

(x z)(e 2y)dy (2x x z)dx

3z(x z) 2z

2

2

22y2

222

.

16.设z y f(u),u x y,其中f可微,证明：y

z x

x

z y

x.

2222

f (x y)2x, 证 z y f(u) y f(x y),则z x

z y 1 f (x y)2y,代入计算得y

22

z x

x

z y

x.

17.设u f(y z,z x,x y),其中f具有连续的偏导数,证明：

这是大学微积分教材课后习题详解答案。

u x

u y

u z

0.

证 u f2 f3 ,u y f1 f3 ,u f1 f2 ,代入得xz

z x

z y

u x

u y

u z

0.

18.设2sin(x 2y 3z) x 2y 3z,证明：证 方程两边作微分运算得,

1.

2cos(x 2y 3y)(dx 2dy 3dz) dx 2dy 3dz,整理有

dz

[1 2cos(x 2y 3z)]dx [2 4cos(x 2y 3z)]dy

3 6cos(x 2y 3z)

z y

,

z x

13

,

z y

23

.

故

z x

1.

19.函数z z(x,y)由方程F(x zy 1,y zx 1) 0所给出,其中F具有连 续的偏导数,证明：x

z x y

z y

z xy.

证

F x

F1 F2 z(

1x

),2

F y

zy

2

F1 F2 ,

2

F z

1y

F1 F2

1x

,由隐函数

求导公式得z x

y(xF1 zF2 )x(xF1 yF2 )

2

,z y

x(yF2 zF1 )y(xF1 yF2 )

.代入计算得

x

z x

y

z y

z xy.

20.求下列函数的二阶偏导数:

(1)z x； (2)z xsiny e

x yx y

22

22

y

xy

；

(3)z ； (4)z ln

yx

.

这是大学微积分教材课后习题详解答案。

解 (1)z yxx x(lnx). z yy

y

2

y 1

y(y 1)xy 2,z x,z y xlnx,z xxxy

yy 1

(1 ylnx),

xy (2)z ,z y xcosy xe siny yex

xy

2xy

,z ye, xx

cosy e(1 xy),z yy xsiny xe. z xy

2x(x y) (x y)2x

(x y)

2

2

22

2

2

2

2

2

2

xy2xy

(3)z x

4xy

2

22

2

(x y)

2

,

z y

2y(x y) (x y)2y

(x y)

2

2

2

22

2

2

2

4xy(x y)

2

4

2

2

2

,

z xx

4y(x y) 16xy(x y)

(x y)

2

2

22

2

4

222

4y 12xy(x y)

2

2

2

2

3

22

,

z xy

8xy(x y) 16xy(x y)

(x y)

2

2

2

22

2

4

322

8xy(x y)(x y)

4

2

2

3

,

z yy

4x(x y) 16xy(x y)

(x y)

1x

2

2

4

2222

4x 12xy(x y)

2

2

3

22

.

(4)z x,z y

1y

,z xx

1x

2

0,z yy ,z xy

1y

2

.

21.求下列复合函数二阶偏导数: (1)z f(x,

xy

)； (2)z f(x y,xy).

2

2

解 (1)z f1 x

1y

f2 ,z y

xy

2

f2 ,

f11 z xx

1y

f12

1y

[f21

1y

] f11 f22

2y

f12

1y

2

, f22

这是大学微积分教材课后习题详解答案。

z xy

xy

2

f12

1y

2

f2

1y

[

xy

2

] f22

xy

2

f12

xy

3

f22

1y

2

f2 ,

z yy

2xy

3

f2

xy

2

(

xy

2

)f22

xy

24

2xyf22

3

f2 .

(2)z f1 2x yf2 ,z y 2yf1 xf2 , x

2f1 2x[2xf11 yf12 ] y[2xf21 yf22 ] 4x2f11 4xyf12 y2f22 2f1 , z xx

2x[ 2yf11 xf12 ] f2 y[ 2yf21 xf22 ]z xy

xyf22 f2 (2x2 2y2)f12 , 4xyf11

2f1 2y[ 2yf11 xf12 ] x[ 2yf21 xf22 ] z yy

2

2f1 4y2f11 4xyf12 . xf22

22.求下列方程所确定的隐函数的二阶偏导数:

(1)y arctan(xz)； (2)xy yz zx 1. 解 (1)等式两端关于x和y求偏导得,

0

11 (xz)

zx

2

(z xz ),1 x

11 (xz)

2

xz y,

整理有z x,z y

1 xz

x

22

0, xz .上式再关于x和y求偏导得,2z xxx

0,2xzz y xz yy ,整理化简得z z y xz xyxx

2

2zx

2

,z xy

1 xzx

2

22

,

2z(1 xz). z yy

22

(2)等式两端关于x和y求偏导得,

y yz z xz 0,x yz y z xz y 0, xx

这是大学微积分教材课后习题详解答案。

整理有z x

z yx y

,z y

x zx y

.上式再关于x和y求偏导得,

z 0,2z y yz yy xz yy 0,整理 2z 0,1 yz z y xz yz xz xyxxyxxxxx

化简得z xx

2(y z)(x y)

2

,z xy

2z(x y)

22

, z yy

2(x z)(x y) u z

z

22

2

.

23.设u zarctan

xy

1y

,证明：

u x

2

u y

2

2

0.

证 u x

z1 (

xy)

2

zyx y

2

2

,u y

1 (

xy

( )

2

xy

) 2

zxx y

2

2

,

u arctanz

xy

,u xx

2xzy(x y)

2

2

2

,u yy

2xzy(x y)

2

2

2

0,代入计算得 ,u zz

u x

2

2

u y

2

2

u z

2

2

0.

24.设z 2cos(x

2

y2y2

),证明：2

y2

z y

2

2

z x y

2

0.

y2

y2

4cos(x 证 z x

)sin(x

),z y 2cos(x

)sin(x

2

2

),

2cos(2x y),z yy cos(2x y),代入计算得2z xy

z y

2

z x y

0.

25.求下列函数的极值,并判定是极大值还是极小值: (1)z x y；

(2)z x xy y 3ax 3by； (3)z e(x 2y y)；

2x

2

2

2

4

4

这是大学微积分教材课后习题详解答案。

(4)z xy

50x

20y

(x 0,y 0)；

(5)z x2 y2 2lnx 2lny 5(x 0,y 0)；

(6)z sinx siny sin(x y) 0 x

2

,0 y

2

.

3

4x 0 z x

解 (1)解方程组 ,得(0,0),显然z(0,0) 0为极小值. 3

z 4y 0 y

2x y 3a 0 z x

2, (2)解方程组 ,得(2a b,2b a).又因z xx

zy x 2y 3b 0

2,B2 AC 0,A 0,故z(2a b,2b a) 3a2 3b2 3ab 1,z yyz xy

为极小值.

2x22x

2e(x 2y y) e 01 z x

(, 1).又因 (3)解方程组 ,得2x

2 zy e(2 2y) 0

2x

4ez xx e(x 2y y 1),z xy

e2

22x

2e(4 4y),z yy

2x

,B2 AC 0,A 0,

故z(, 1)

2

1

为极小值.

50 z y 02 10040 xx z 1 (4)解方程组 ,得(5,2).又因z ,,, z xyxxyy3320xy z y x 2 0 y

2

B AC 0,A 0,故z(5,2) 30为极小值.

2

z 2x 0 2 xx 0, 2 (5)解方程组 ,得(1,1).又因z ,z xyxx22x 0 z y 2y y

2 z yy

2y

2

2

,B AC 0,A 0,故z(1,1) 7为极小值.