梁昆淼 数学物理方法第1和2章

梁昆淼 数学物理方法 资料

使用教材：数学物理方法，梁昆淼编 参考教材： (1)、数学物理方法，姚端正等编

(2)、数学物理方法教程，潘忠程编

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第一篇 复变函数论 第一章 复变函数§1.1 复数与复数运算 §1.2 复变函数§1.3 复变函数的导数

§1.4 解析函数 §1.5 多值函数

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§1.1 复数与复数运算 (一) 复数 几何表示： 复平面

1、 复数表示复数： 式中

z x yi

z x yii 1

y

r x

A( x, y )

x、y为实数，称为 复数的实部与虚部

z r x 2 y 2 为复数的模

x Re( z ) y Im( z )

arctg ( y / x) x cos y sin

为复数的辐角

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x cos

y sin

y

arctg ( y / x) Argz由于辐角的周期性， 辐角有无穷多

r r r

A( x, y )

Argz

x

yArgzx

Argz 2k (k 0, 1, 2 )

yArgz

x

arg z 为辐角的主值，为主 辐角，记为

y

arg z

rArgz x

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复数的三角表示： 复数的指数表示： 应用： 2 k i

z cos i sin

ei z (cos i sin )( 2 k / 2 ) i

i e e 1 ( 2 k 3 / 2 ) i ( 2 k ) i i e 1 e

(k 0, 1, )

例：求 z 1 3i 的Argz与argz解：z位于第二象限

2 y arg z arctg arctg ( 3 ) 3 x 2 Argz arg z 2k 2k 3

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共轭复数：

z (cos i sin ) (cos i sin )*

*

e

i

1 i i cos (e e ) 2(二) 无限远点 N

1 i i sin (e e ) 2i零点 无限远点

Riemann球面 复球面

Az S

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(三)复数的运算 1、复数的加减法

z1 z2 x1 y1i ( x2 y2i) ( x1 x2 ) ( y1 y2 )i

y1 y2 y1 y2

yz1 z2 x1

z1 z2

x

x2 x1 x2

z1 z2 ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2arg z arctg[( y1 y2 ) /( x1 x2 )]有三角 关系：

z1 z2 z1 z2

z1 z2 z1 z2

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2、复数的乘法

z1 z2 ( x1 y1i)( x2 y2i) ( x1 x2 y1 y2 ) i( x1 y2 x2 y1 )

z1 z2 1e

i 1

2e

i 2

1 2 e 1 2[cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )]z1 z2 z1 z2arg( z1 z2 ) arg z1 arg z2

i ( 1 2 )

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3、复数的除法

z1 x1 y1i ( x1 y1i)( x2 y2i) z2 x2 y2i ( x2 y2i)( x2 y2i) x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 2 2 i 2 2 x2 y 2 x2 y 2或指数式： z1 x1 y1i z 2 x2 y 2 i

z1 1 i ( 1 2 ) 1 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )] e 2 z2 2

1e i 2 e

i 12

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4、复数的乘方与方根乘方

z ( e ) en i n n

in

(cos n i sin n )n

故： 方根

(cos i sin ) cos n i sin n

n

n

z n e

i

1/ n

e

i / n

故k取不同值，n

1/ n

e

i ( 2 k ) / n

(k 0,1,2,3 )

z

取不同值

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n

z en

1/ n i ( 2 k ) / n1/ n i / n

k 0 k 1 k 2 k n

z e z e

n

1/ n i ( 2 ) / n

n

n

z e

1/ n i ( 4 ) / n

z e

1/ n i ( 2 / n )

e

1/ n i / n

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k n例：求3

n

z e3

1/ n i ( 2 / n )

e

1/ n i / n

8 之值3

8 8

1/ 3

e

i ( 2 k ) / 3

k 0 k 1 k 2

8 8 e 8 8

1/ 3 i / 3 i

1 i 3

3

1/ 3

e 2

3

8 8 e

1/ 3 i 5 / 3

1 i 3

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注意： 1)、

z z z x y* 2

2

2

z z z 2 ( x yi)( x yi) x y i 2 xy2 2

2)、

1 * ( z z ) Re z 2

1 * ( z z ) Im z 2i

1 1 * * * ( z1 z2 ) ( z1 z2 ) 3)、 2 2

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例：讨论式子 Re(1 / z ) 2在复平面上的意义解：

Re(1 / z ) 2

z x yi

1 1 x yi 2 z x yi x y2x x y 22 2

x Re(1 / z ) 2 2 2 x y为

1 2 1 2 2 ( x ) y ( ) 圆上各点 4 4

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例：计算 W 解： 令

a ibz a 2 b21/ 2

z a ib z (cos i sin )W a ib [ z (cos i sin )] z1/ 2

sin cos

b a b a2 2 2

[cos(1/ 2

2k 2

) i sin(

2k 2

)]

a b

2

[cos( ) i sin( )] 2 2 1 cos sin 2 2 1/ 2 2 2 W2 z [cos( ) i sin( )] 2 2

W1 z

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例：计算 cos cos 2 cos 3 cos n

sin sin 2 sin 3 sin n 解： 令

a cos cos 2 cos 3 cos n b sin sin 2 sin 3 sin n W a ib cos cos 2 cos 3 cos n i (sin sin 2 sin 3 sin n ) (cos i sin ) (cos 2 i sin 2 )

(cos n i sin n )

e e

i

i 2

e

i 3

e

in