2011年高考数学理科试题解析江苏卷

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2011年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

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数学I

参考公式：

1n1n2

（1）样本数据x1,x2, ,xn的方差s (xi x),其中x xi

ni 1ni 1

2

（2）直柱体的侧面积S ch，其中c为底面周长，h是高 （3）柱体的体积公式V Sh，其中S为底面面积，h是高

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。 ．．．．．．．．1、已知集合A { 1,1,2,4},B { 1,0,2}, 则A B _______, 答案： －，12

2、函数f(x) log5(2x 1)的单调增区间是__________

（－，+ ）答案：

3、设复数i满足i(z 1) 3 2i（i是虚数单位），则z的实部是_________ 答案：1

4、根据如图所示的伪代码，当输入a,b分别为2，3时，最后输出的m的值是________ 答案：3 5、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 答案：

1

2

1 3

6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2 ___ 解析：可以先把这组数都减去6再求方差，7、已知tan(x

16 5

4

) 2, 则

tanx

的值为__________

tan2x

tan(x ) 1

1tanxtanx（－1tan2x）4解析：tanx＝tan(x ) ,＝＝

4429tan(x ) 13tan2x41－tan2x

2

8、在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x) 的图象交于P、Q两

x

点，则线段PQ长的最小值是________

解析：4，设交点为(x,)，( x, )，则PQ 4

2x2x9、函数f(x) Asin(wx ),(A,w, 是常数，A 0,w 0)的部分图象如图所示，则

f(0) ____

解析：由图可知：A

T7 , 2,2 k , k 4123432 f(0) k ) 37

12

2

10、已知e1,e2是夹角为 的两个单位向量，a e1 2e2,b ke1 e2, 若a b 0，则k

3

的值为

解析：由a b 0得：k=2

11、已知实数a 0，函数f(x) ________

解析：a 0,2 2a a 1 a 2a,a

2x a,x 1

，若f(1 a) f(1 a)，则a的值为

x 2a,x 1

33，a 0, 1 a 2a 2 2a a,a 24

x

12、在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(x) e(x 0)的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标

为t，则t的最大值是_____________

解析：设P(x0,e0),则l:y e0 e0(x x0), M(0,(1 x0)e0)，过点P作l的垂线

x

x

x

x

y ex0 e x0(x x0),N(0,ex0 x0e x0)

，

11

t [(1 x0)ex0 ex0 x0e x0] ex0 x0(e x0 ex0)

22111t' (ex0 e x0)(1 x0)，所以，t在(0,1)上单调增，在(1, )单调减，tmax (e )。

22e

13、设1 a1 a2 a7，其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列，a2,a4,a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________ 解

析

：

由

题

意

：

1 a1 a2 a1q a2 1 a1q2 a2 2 a1q3

，

a2 q a2 1,a2 1 q2 a2 2

,a1 1, a2,a2 1,a2 2q3 a2 2 3，而 a2 1

14

、

设

集

合

的最小值分别为1，2，3

； qmin A {(x,y)|

m

(x 2)2 y2 m2,x,y R}2

,

B {(x,y)|2m x y 2m 1,x,y R},

若A B , 则实数m的取值范围是______________

解析：当m 0时，集合A是以（2，0）为圆心，以m为半径的圆，集合B是在两条平行线

之间， m (1m 0 ，因为A B ,此时无解；当m 0时，

2m为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有

集合A是以（2，0

m1m2

m, m 1 .

又因为 m 122

二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说．．．．．．．明、证明过程或演算步骤。

15、（本小题满分14分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a,b,c （1）若sin(A

) 2cosA, 求A的值；

61

（2）若cosA ,b 3c，求sinC的值.

3

解析：（1

） sin(A （2

） cosA

6

) 2cosA, sinA A, A

3

1

,b 3c, a2 b2 c2 2bccosA 8c2,a 3

由正弦定理得：

1c，而sinA （也可以先推 sinC 。

3sinAsinC3

出直角三角形）

16、（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD， AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点 求证：（1）直线EF‖平面PCD； （2）平面BEF⊥平面PAD 解析：（1）因为E、F分别是AP、AD的中点，

EF PD,又 P,D 面PCD,E 面PCD

直线EF‖平面PCD

（2） AB=AD, BAD=60 , F是AD的中点， BF AD, 又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD 面ABCD＝AD, BF 面PAD,

(第16题图)

所以，平面BEF⊥平面PAD。

17、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角

三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm

（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？ （2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。

P

2

2

2

2

32

解析：（1）S 60 4x (60 2x)

240x

8x（0<x<30）,所以x=15cm时侧面积最大，

2

（2）V (2x)

(60 2x) 2(30 x)(0 x 30)，所以，V' (20 x), 2

当

0 x 20,时，

V递增，当20 x 30时，V递减，所以，当x=20时，V最大。

60－2x）

1 2x2y2

1的18、（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N

分别是椭圆42

顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x

为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k （1）当直线PA平分线段MN时，求k的值； （2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d； （3）对任意k>0，求证：PA⊥PB

解析：（1）

M(-2,0),N(0,),M、N的中点坐标为

(-1,

),

所以k 22

2

24242yy 2x即：y x 2 （2）由x2 2y2 4得P(,),A( , )，C(,0)，AC方程：

333333 333

x

所以点P到直线AB

的距离d

3（3）法一：由题意设P(x0,y0),A( x0, y0),B(x1,y1),则C(x0,0)，

A、C、B三点共线，

yy yy1

0 10,又因为点P、B在椭圆上，

x1 x02x0x1 x0

x02y02x xx12y12 1, 1，两式相减得：kPB 01

42422(y0 y1)

kPAkPB

y0x x(y y)(x x)

[ 01] 1001 1 x02(y0 y1)(x1 x0)(y0 y1)

PA PB

法二：设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B中点N(x0,y0),则P(-x1, y1),C(-x1,0),

A、C、B三点共线，

y2y yy

21 1 kAB,又因为点A、B在椭圆上,

x2 x1x2 x12x1

yx22y22x12y121

1, 1,两式相减得：0 ,

4242x02kAB kONkPA

y0y11

2kAB 1, ON PB, PA PB x0x12kAB

32

19、（本小题满分16分）已知a，b是实数，函数f(x) x ax,g(x) x bx, f (x)和

g (x)是f(x),g(x)的导函数，若f (x)g (x) 0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区

间I上单调性一致

（1）设a 0，若函数f(x)和g(x)在区间[ 1, )上单调性一致,求实数b的取值范围； （2）设a 0,且a b，若函数f(x)和g(x)在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值。

解析：（1）因为函数f(x)和g(x)在区间[ 1, )上单调性一致，所以，

x [ 1, ),f'(x)g'(x) 0,即

x [ 1, ),（3x2+a）(2x+b) 0, a 0, x [ 1, ),2x+b 0,

即 a 0, x [ 1, ),b 2x, b 2;

（2）当b a时，因为，函数f(x)和g(x)在区间（b,a）上单调性一致，所以，

x (b,a),f'(x)g'(x) 0,

即

x (b,a),（3x2+a）(2x+b) 0,

b a 0, x (b,a),2x b 0

，

x (b,a),a 3x2,

b a 3b2,设z a b，考虑点(b,a)的可行域，函数y 3x2的斜率为1的切线的切点

设为(x0,y0)

则 6x0 1,x0 ,y0

1

61111, zmax ( ) ； 121266

当a b 0时，因为，函数f(x)和g(x)在区间（a, b）上单调性一致，所以，

x (a,b),f'(x)g'(x) 0,

即

x (a,b),（3x2+a）(2x+b) 0,

b 0, x (a,b),2x b 0

，

x (a,b),a 3x2,

11

a 3a2, a 0, (b a)max ;

33

当a 0 b时，因为，函数f(x)和g(x)在区间（a, b）上单调性一致，所以，

x (a,b),f'(x)g'(x) 0,

2

（3x+a）(2x+b)=ab<0,不符合题即 x (a,b),(2x+b)（3x+a） 0, b 0,而x=0时，

2

意，

当

a 0 b

时，由题意：

x (a,0),2x（3x2+a） 0, x (a,0),3x2+a 0, 3a2 a 0,

11 a 0, b a

33

1

综上可知，a bmax 。

3

20、（本小题满分16分）设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a1 1，前n项和为Sn，已知对任意整数k属于M，当n>k时，Sn k Sn k 2(Sn Sk)都成立。 （1）设M=｛1｝，a2 2，求a5的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列{an}的通项公式。 解析：（1） k 1, n 1,Sn 1 Sn 1 2(Sn S1), Sn 2 Sn 2(Sn 1 S1)即：

an 2 an 2an 1

所以，n>1时， an 成等差，而a2 2，S2 3,S3 2(S2 S1) S1 7, a3 4, a5 8; （2）由题意： n 3,Sn 3 Sn 3 2(Sn S3),(1); n 4,Sn 4 Sn 4 2(Sn S4),(2)，

n 4,Sn 4 Sn 2 2(Sn 1 S3),(3); n 5,Sn 5 Sn 3 2(Sn 1 S4),(4);

当n 5时，由（1）（2）得：an 4 an 3 2a4,(5) 由（3）（4）得： an 5 an 2 2a4,(6) 由（1）（3）得：an 4 an 2 2an 1,(7); 由（2）（4）得：an 5 an 3 2an 1,(8);

由（7）（8）知：an 4,an 1,an 2,成等差，an 5,an 1,an 3,成等差；设公差分别为：d1,d2, 由

（

5

）

（

6

）

得

：

an 5 an 3 2d2 an 4 2a4 2d2,(9);an 4 an 2 2d1 an 5 2a4 2d1,(10);

由（9）（10）得：an 5 an 4 d2 d1,2a4 d1 d2,an 2 an 3 d2 d1; an (n 2)成等差，设公差为d,

在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：2a1+6a2 15d 2(2a1 5a2 5d),即4a2 5d 2;

2a1 8a2 28d 2(2a1 7a2 9d),即3a2 5d 1 a2 3,d 2, an 2n 1.

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数学II（附加题）

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定．．．．．．．．．．．．．．．

区域内作答， ．．．．．

若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A． 选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）

如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1 r2)， 圆O1的弦AB交圆O2于点C（O1不在AB上）， 求证：AB:AC为定值。

证明：由弦切角定理可得 AO2C AO1B, B． 选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）

ABO1Br1

ACO2Cr

第21-A图

11 1 2

已知矩阵A ，向量 ，求向量 ，使得A ．

21 2

x2 设 ，由A 得： y

4

32 x 1 3x 2y 1 x 1 1

， , 3 y 2 4x 3y 2 y 2 2

C．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

x 5cos

在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆 （ 为参数）的右焦点且与直线

y 3sin x 4 2t

（t为参数）平行的直线的普通方程。

y 3 t

x 4 2tx2y2

1,右焦点为（4，0）解析：椭圆的普通方程为，直线 （t为参数）的259y 3 t

普通方程为2y x 2，斜率为：

D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）

解不等式：x |2x 1| 3

11

；所求直线方程为：y (x 4),即x 2y 4 0 22

44

，解集为( 2,) 33

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作．．．．．．．．

解析：原不等式等价于：x 3 2x 1 3 x, 2 x

答，解答时应写出

文字说明、证明过程或演算步骤。

22. （本小题满分10分）

如图，在正四棱柱ABCD ABC点N是BC的中点，点M在CC1AA1 2,AB 1，111D1中，上，设二面角A1 DN M的大小为 。 （1）当 90时，求AM的长； （2

）当cos

时，求CM的长。 解析：以D为原点，DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，DD1为z轴正半轴，

1

,1,0),C(0,1,0) )，设M(0，1,z), 2

1

面MDN的法向量n1 (x1,y1,z1)，DA1 (1,0,2),DN (,1,0),DM (0,1,z)

2

x0 2z0 0

设面A1DN的法向量为n (x0,y0,z0)，则DA1n 0,DNn 0, 1

x0 y0 0 2

取x0 2,则y0 1,z0 1,即n (2, 1, 1)

建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),A1(1,0,2),N(

第

22题图

(1)由题意：

1

2x1 y1 0

DNn1 0,DMn1 0,nn1 ,0 y1 zz1 0

2x y z 0 111

取

1

x1 2,则

y1 1,z1 5,z ;

5

AM

5

1

x1 y1 0 2nn1 y1 zz1 0（2

）由题意：DNn1 0,DMn1 0, 取 即

nn1 3x2 4xy 4xz 2yz 0

111111

1

11

x1 2,则y1 1,z1 2,z ; CM .

22

23．（本小题满分10分）

设整数n 4，P(a,b)是平面直角坐标系xOy中的点，其中a,b {1,2,3, ,n},a b （1）记An为满足a b 3的点P的个数，求An； （2）记Bn为满足(a b)

是整数的点P的个数，求Bn

1

(n 3) 对每一个k对应的解数为：n-3k,解数一共有：1 2 n 3

2

(n 2)(n 3)Bn

2