概率论第三讲

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§6

独立性

例：有10件产品，其中8件为正品，2件为次品。从中取2次,每 次取1件，设Ai={第i次取到正品},i=1,2 ①不放回抽样时: ②放回抽样时:

7 8 P( A2 | A1 ) = ≠ P( A2 ) = 9 10 8 P( A2 | A1) = = P( A2 ) 10

即放回抽样时，A1的发生对A2的发生概率不影响 同样，A2的发生对A1的发生概率不影响 定义： 定义：设A,B为两随机事件，P(A) ≠0, P(B) ≠0, 若 P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A)时，即P(AB)=P(A)*P(B), 称A,B相互独立 相互独立。 相互独立概率论与数理统计

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推论： 推论：若A、B为独立事件，则A与B逆,A逆与B, A逆与B逆 相互独立。 证明： 若P ( AB ) = P ( A ) P ( B )则： ( BA ) = P ( AB ) = P ( A AB ) P

= P ( A ) P ( AB ) = P ( A) P ( B )

= P ( A ) 1 P ( B )

P ( BA ) = P ( B BA ) = P( B ) P ( BA ) = P ( B ) (1 P ( A ) ) = P ( B ) P ( A)

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定义：设A1, A2 ,L L , An为n个随机事件，若对2 ≤ k ≤ n, 均有： P Ai1 Ai2 L L Aik = ∏P Ai j ,j =1

(

)

k

( )

则称A1, A2 ,L L , An相互独立说明： 说明： 事件的独立性不是由定义来决定的，而是根据随即事件 的实际情形决定的。

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例：设各继电器相互独立，且 每一继电器导通的概率为 p,求L1,L2为通路的概率。

k2 L1 k1 k3 L1

解：定义事件A为L1 L2是通路，Bi为第i个继电器闭合， 显然A可以表示为：A = B1 I ( B2 U B3 ) 则：P ( A) = P ( B1 I ( B2 U B3 ))= P ( B1 B2 U B1 B3 ) = P( B1 B2 ) + P( B1 B3 ) P ( B1 B2 B3 )

= 2 p 2 p3

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例：甲、乙两人同时向一目标射击，甲击中率为0.8,乙击中率 为0.7,求目标被击中的概率。

解：设A = {甲击中目标},B = {乙击中目标} C ={ 目标被击中}显然，C = A U B则：P(C ) = P ( A U B ) = P ( A) + P( B ) P( AB ) = P( A) + P ( B) P ( A) P( B )

= 0.8 + 0.7 0.8 × 0.7 = 0.94

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例：甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为p ≥ 1 , 2 对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制 有利？ 设各局胜负相互独立。解：设Ai = {第i局甲胜} , A = {甲胜}(1)若采用三局两胜，则： A = A1 A2 U A1 A3 U A2 A3所以：3 ( A) = P( A1 A2 U A1 A3 U A2 A3 ) P= P( A1 A2 ) + P( A1 A3 ) + P( A2 A3 ) 3P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) = 3 p 2 2 p3

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(2)五局三胜制：

则：5 ( A) = p + C (1 p ) p + C (1 p ) p 3 P3 1 3 3 2 4 2

A = A1 A2 A3 U ( 前三次有一次输 ) A4 U ( 前四次有两次输 ) A5

= p 3 + 3 (1 p ) p 3 + 6 (1 p ) p 32

= 10 p 3 15 p 4 + 6 p 5所以：5 ( A) P3 ( A) = 10 p 3 15 p 4 + 6 p 5 3 p 2 + 2 p 3 P = 6 p 5 15 p 4 + 12 p 3 3 p 2 = 3P 2 ( P 1) ( 2 P 1) > 02

显然，5局3

胜更好。

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作业： P35: 26, 31,33

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第一章 总结1. 样本空间 S = {e} 随机事件 A S 2. 事件的关系： A B; A = B 事件的运算：A U B; A I B; A 基本运算关系： A U B = A AB = A B A U B = B U A, A I B = B I A

( A U B) UC = A U( B UC ) , ( A I B) I C = B I ( A I C ) A U ( B I C ) = ( A U B ) I ( A U C ),A I ( B U C ) = ( A I B ) U ( A I C )A I B = A U B, AUB = AI B概率论与数理统计

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nA 3. 频率：f n ( A ) = n 概率的定义：当n趋于无限大时，频率就趋于稳定值， 称为概率。 概率的性质：(1) P ( A ) = 1 P ( A ) (2)当B A时, P ( A ) ≥ P ( B )

(3) P ( A U B ) =P ( A ) + P ( B ) P ( AB )

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P ( AB ) 4. 条件概率：P ( B | A ) = P ( AB ) = P ( A ) P ( B | A ) P ( A) 当B1 , B2 ,L L , Bn为S的一个划分时： P( A) = ∑ P( B j ) P( A | B j ),j =1 n

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(全概率公式) (Bayes公式)

P( Bi | A) =

P( Bi ) P( A | Bi )

∑ P( B ) P( A | B )j =1 j j

n

5. 事件独立性 P( A | B ) = P( A) P( B | A) = P( B) P( AB ) = P ( A) P( B)概率论与数理统计

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思考题1、“事件A不发生，则A = ”对么？2、“两事件A和B为不相容两事件，及AB=,则A, B互逆”对么？

3、甲、乙两个人同时猜谜语，A为甲猜中，B为乙猜中，则 A U B为甲乙两个人最少有一人猜中，则P(A U B)=P(A)+P(B)4、满足什么条件的问题称为古典概型问题。

5、 一口袋中有10个球, 其中有1个白球及9个红球。从中任意取一球 设A = {取到白球} , 则A = {取到红球} , 且设样本空间为S , S = { A, A} , S中有两个样本点, 而A是其中一个样本点,问P ( A ) = 1 对吗？ 2

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6、如何理解样本点(基本事件)两两互不相容。7、A和B为两随机事件，理解P( AB)与P( A | B )的不同含义。

8、设A和B为随机事件, P ( A ) ≠ 0,问P ( B | A ) = P ( B ) P ( B | A ) 是否成立？ P ( B | A ) = 1 P ( B | A ) 是否成立？

9、什么条件下两事件相互独立？

10、A和B为两个以一定概率出现的事件，问A和B相互独立、 A和B互不相容能否同时成立？11、A和 …… 此处隐藏：1540字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……