高中数学配套同课异构2.3.2 双曲线的简单几何性质 课件1(人教A版选修2-1)

第二章 圆锥曲线与方程

2.3.2 双曲线的简单几何性质

复习回顾：定义

| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)yMM F2

y

图象F1 o F2

xF1

x

方程

x y 2 1 2 a bc a b2 2 2

2

2

y x 2 1 2 a b

2

2

a.b.c 的关 系

椭圆的图像与性质标 准 方 程范 围 对称性

x2 y2 2 1 2 a b

YB2

|x| a,|y|≤b关于X,Y轴, 原点对称

顶点 焦 点对称轴 离心率 准 线

(±a,0),(0,±b) (±c,0) A1A2 ; B1B2e c a

A1

F1

o

A2

F2

X

B1

类比椭圆,探讨双曲线

x y 2 1(a 0, b 0) 2 a b的几何性质: 范围、对称性、顶点、离心率. 渐近线

2

2

一、探究双曲线 1、范围2

x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b(-x,y)

的简单几何性质y (x,y) o a A2

x a或x a

x 2 2 2 1 即x a a(-x,-y)

A1 -a

x

(x,-y)

2、对称性 以-x代x方程不变，故图像关于 y 轴对称； x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 以-y代y方程不变，故图像关于 x 轴对称；。 又叫做双曲线的中心。以-x代x且以-y代y方程不变，故图像关于 原点 对称

3、顶点(与对称轴的交点) A ( a,0)、A2 (a,0) 1

3、顶点(1)双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点

顶点是A1 ( a,0)、A2 (a,0)(2) 如图，线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴，它的长为2a,a叫做 实半轴长；

线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的 虚半轴长 (3) 实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线A1 -ab

y

B2o a A2 x

x 2 y 2 m ( m 0)

-b B 1

4 渐近线如图, 经过 A1 , A2 作y轴的平 行线 x a, 经过 B1 , B2 作 x 轴的平行线 y b, 四条直 线围成一个矩形 图2.2 7 . 矩形的两条对角线所在的 x y 直线的方程是 0. a b

y

B2O

F1

A1B1

A2

F2

x

图2 . 2 7

由几何画板实验可以看到x y 双曲线 2 2 1的各支向远处延伸时 , 与这两 a b2 2

条直线逐渐接近 我们把这两条直线叫做 ,

双曲线的渐近线 也就是说, 双曲线与它的 . 渐近线无限接近 但永远不相交 , .

4、渐近线

b 2 2 k x y a 思考(1)双曲线 2 2 1 a b

yB2

b k a

的渐近线方程是？b y x a求法:2 2

(a,b)b a

渐进线方程 可由双曲线 方程怎样得 到？

bA1

oB1

A

2

x

x y 2 1 2 令 a b 中的 1 为 0, 得 - =0

再化简所得的直线方程.

名师点睛c (3)离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比 叫双曲线的离心率， 由 a 于 c>a>0, ∴e>1, e 越大， 且 双曲线的“张口”越大. 特别地， 等轴双曲线的离心率 e= 2为定值. x2 y2 (4)①已知双曲线方程求渐近线方程， 只需将方程 2- 2=1(a>0, a b x2 y2 b>0)右边的“1”换成“0”即可，即由 2- 2=0 得出渐近线方程是 a b x y b y2 x2 ± =0,即 y=± x.类似

地，对于方程 2- 2=1(a>0,b>0), a b a a b y2 x2 a 则由 2- 2=0 得渐近线方程是 y=± x. a b b

4、渐近线(2)等轴双曲线的渐近线 方程是什么？

b k aB2

y

b k a

(a,b)b a

bA1

y x

oB1

A

2

x

(3)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图

画矩形

画渐进线

画双曲线的草图

题型二

根据双曲线的几何性质求标准方程

根据下列条件，求双曲线的标准方程. 【例2】 6 4 - =1, m=-3, m n (1)双曲线的渐近线的方程为 2x± 3y=0 且经过 P( 6,2);

∴ -n 解得 4 2 n=-3. 5 = , -m P(3,- 2),离心率 e= . (2)经过点 3 2 y2 x2 故所求双曲线方程为 - =1. 4 3 3 2 法二 由于双曲线的渐近线方程是 y=± x, 所以可设双曲线方程 3 x2 y2 为 - =λ(λ≠0). 9 4 6 4 1 ∵双曲线过点 P( 6,2).∴ - =λ,λ=- . 9 4 3 y2 x2 ∴故所求双曲线方程为 - =1. 4 3 3

【变式2】 求适合下列条件的双曲线的标准方程：13 (1)一个焦点为(0,13),且离心率为 ； 5 1 (2)渐近线方程为 y=± x,且经过点 A(2,-3). 2

1 由双曲线的渐近线方程为 y=± x, 2 x2 2 可设双曲线方程为 2-y =λ(λ≠0), 2 ∵A(2,-3)在双曲线上， 22 ∴ 2-(-3)2=λ,即 λ=-8. 2 y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 - =1. 8 32 法二

c 与椭圆类似 双曲线的焦距与实轴长 , 的比 , a 叫做双曲线的离心率.因为c a 0, 所以双 c 曲线的离心率e 1 . a

5 离心率

思考 离心率可以刻画椭圆的 扁平程度, 双 曲线的离心率刻画双曲 线的什么几何特征 ?

5、离心率 e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开 口越大

c a b 2 e 2 2 a a2

2

2

b 1 2 a2

2

等轴双曲线的离心率e= ?

离心率e 2的双曲线是等轴双曲线

名师点睛c (3)离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比 叫双曲线的离心率， 由 a 于 c>a>0, ∴e>1, e 越大， 且 双曲线的“张口”越大. 特别地， 等轴双曲线的离心率 e= 2为定值. x2 y2 (4)①已知双曲线方程求渐近线方程， 只需将方程 2- 2=1(a>0, a b x2 y2 b>0)右边的“1”换成“0”即可，即由 2- 2=0 得出渐近线方程是 a b x y b y2 x2 ± =0,即 y=± x.类似地，对于方程 2- 2=1(a>0,b>0), a b a a b y2 x2 a 则由 2- 2=0 得渐近线方程是 y=± x. a b b