湖南省永州市第四中学高中部2016年高一数学自主招生考试试题(特奥班)

2016年永州市第四中学高中部自主招生考试试题

数学（试题卷）

注意事项：

1.本场考试时间为150分钟，总分为120分。

2.考生在答题前请检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，若有请立即向监考老师通报。答案请填写在答题卡上，写在试题卷上无效。

3.本张试卷为2016年永州四中文科实验班、理科特奥班自主招生考试试卷。

一．选择题（共6小题，每小题6分，共36分） 1．一列数a1，a2，a3， ，其中a1=，an=（n为不小于2的整数），则a100=（ ）

2．已知，则的值为（ ）

线AD，射线BC上．若点E与点B相交于点G，则（ ）

3．已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射关于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD

PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（ ）

2

6．已知抛物线y=﹣x+1的顶点为P，点A点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B

，C、D，连结PA、PD，PD交AB于点E，△PAD

是第一象限内该二次函数图象上一点，过分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为与△PEA（ ）

二．填空题（共4小题，每小题6分，共24分）

2

7．如果函数y=b的图象与函数y=x﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是 ． 8．如图，已知直线

交x轴、y轴于

点A、B，⊙P的圆心从原点出发以每秒1（s），半径为，则t= s时

个单位的速度向x轴正方向移动，移动时间为t

⊙P与直线AB相切．

9．一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合．一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的．如一组数1，1，2，3，4就可以构成一个集合，记为A={1，2，3，4}．类比实数有加法运算，集合也可以“相加”．定义：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的和，记为A+B．若A={﹣2，0，1，5，7}，B={﹣3，0，1，3，5}，则A+B= ． 10．对于X，Y定义一种新运算“*”：X*Y=aX+bY，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算．若

成立，那么2*3= ．

三．解答题（共5题，每题12分，共60分） 11．如图，二次函数

与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的

速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动．设PQ交直线AC于点G． （1）求直线AC的解析式；

（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；

（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的M点的坐标； （4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由．

试题图

备用图

12．已知直线y=﹣x+4与x轴和y轴分别交与B、A两点，另一直线经过点B和点D（11，6）．

（1）求AB、BD的长度，并证明△ABD是直角三角形；

（2）在x轴上找点C，使△ACD是以AD为底边的等腰三角形，求出C点坐标；

（3）一动点P速度为1个单位/秒，沿A﹣B﹣D运动到D点停止，另有一动点Q从D点出发，以相同的速度沿D﹣B﹣A运动到A点停止，两点同时出发，PQ的长度为y（单位长），运动时间为t（秒），求y关于t的函数关系式．

13．在边长为1的正方形ABCD中，以点A为圆心，AB为半径作圆，E是BC边上的一个动点（不运动至B，C），过点E作弧BD的切线EF，交CD于F，H是切点，过点E作EG⊥EF，交AB于点G，连接AE． （1）求证：△AGE是等腰三角形；

（2）设BE=x，△BGE与△CEF的面积比，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）在BC边上（点B、C除外）是否存在一点E，使得GE=EF，若存在，求出此时BE的长，若不存在，请说明理由．

14．如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3MN=2．

（1）求∠COB的度数； （2）求⊙O的半径R； （3）点F在⊙O上（

，

是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，

F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画

出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．

15．如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．

①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积；

②当m=﹣3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2016年永州四中高中部自主招生考试数学参考答案

选择题 1-6.ABABDB 填空题 7. ﹣6、﹣

8.

或24

9.{﹣3，﹣2，0，1，3，5，7} 10.1 解答题

11.（1）y=﹣x2

+2，

x=0时，y=2， y=0时，x=±2， ∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2）， 设直线AC的解析式是y=kx+b， 代入得：

，

解得：k=1，b=2，

即直线AC的解析式是y=x+2；

（2）当0＜t＜2时， OP=（2﹣t），QC=t，

∴△PQC的面积为：S=（2﹣t）t=﹣t2

+t， 当2＜t≤4时， OP=（t﹣2），QC=t，

∴△PQC的面积为：S=（t﹣2）t=t2

﹣t，

∴；

（3）当AC=CM=BC时，M的坐标是：（0，

），（0，﹣2）；

当AM=BM=CM时，M的坐标是：（0，0），（0，）； 一共四个点，（0，），（0，0），（0，），（0，﹣2）；

（4）当0＜t＜2时，过G作GH⊥y轴，垂足为H． 由AP=t，可得AE=．

∵GH∥OP

∴即

=，解得GH=，

所以GC=

GH=

．

于是，GE=AC﹣AE﹣GC=

=．

即GE的长度不变．

当2＜t≤4时，过G作GH⊥y轴，垂足为H． 由AP=t，可得AE=． 由

即

=

，

∴GH（2+t）=t（t﹣2）﹣（t﹣2）GH， ∴GH（2+t）+（t﹣2）GH=t（t﹣2）， ∴2tGH=t（t﹣2）， 解得GH=， 所以GC=

GH=

． 于是，GE=AC﹣AE+GC=2

﹣t+

=

，

即GE的长度不变．

综合得：当P点运动时，线段EG的长度不发生改变，为定值．

12.（1）令x=0，y=4， 令y=0，则﹣x+4=0， 解得x=3，

所以，A（0，4），B（3，0）， 由勾股定理得，AB==5，

BD=

=10，

过点D作DH⊥y轴于H，DH=11，AH=2， 由勾股定理得，AD=

==，

∵AB2

=25，BD2

=100，

∴AB2+BD2=AD2

，

∴△ABD是直角三角形；

（2）设OC长为x，由等腰三角形以及勾股定理得到x2+42=（11﹣x）2+62

，解得x=， 所以，C（

，0）；

（3）设t秒时相遇，由题意得，t+t=5+10，

解得t=7.5，

点P在AB上时，0≤t≤5，PB=5﹣t，BQ=10﹣t， PQ=

=

=

，

点P、Q都在BD上重合前，5＜t≤7.5，PQ=5+10﹣t﹣t=15﹣2t， 重合后，7.5＜t≤10，PQ=t+t﹣5﹣10=2t﹣15， 点Q在AB上时，10＜t≤15，PB=t﹣5，BQ=t﹣10， PQ=

=

=

．

13.（1）连AH， ∵AH⊥EF，GE⊥EF， ∴GE∥AH，

∴∠GEA=∠EAH，

∵AH=AB，AE=AE，∠ABE=∠AHB， ∴△AHE≌△ABE， ∴∠BAE=∠EAH， ∴∠BAE=∠GEA，

∴AG=EG，即△AGE是等腰三角形．

（2）∵EH=EB=x，

∴EC=1﹣x，CF=1﹣FD， ∵FD=FH，

∴EF=EH+HF=x+FD，

在Rt△ECF中，EF2=EC2+CF2

，

∴（1﹣x）2+（1﹣FD）2=（x+FD）2

，整理得，（1+x）FD=1﹣x，∴

，

∵∠B=∠C， 又GE⊥EF，

∴∠GEB=∠FEC， ∴△GEB∽△EFC， ∴

，

∴，

∴（0＜x＜1）．

（3）假设BC上存在一点E，能使GE=EF， 则，

∴

，解得x=0或x=1，经检验x=0或x=1是原方程的解但动点E不能与B，C点重合，

故x≠0且x≠1，

∴BC边上符合条件的E点不存在．

14.（1）∵AE切⊙O于点E， ∴AE⊥CE，又OB⊥AT， ∴∠AEC=∠CBO=90°， 又∠BCO=∠ACE，

∴△AEC∽△OBC，又∠A=30°， ∴∠COB=∠A=30°；

（2）∵AE=3，∠A=30°， ∴在Rt△AEC中，tanA=tan30°=

，即EC=AEtan30°=3，

∵OB⊥MN，∴B为MN的中点，又MN=2，

∴MB=MN=

，

连接OM，在△MOB中，OM=R，MB=，

∴OB=

=

，

在△COB中，∠BOC=30°， ∵cos∠BOC=cos30°==

，

∴BO=OC， ∴OC=

OB=

， 又OC+EC=OM=R，

∴R=

+3，

整理得：R2

+18R﹣115=0，即（R+23）（R﹣5）=0， 解得：R=﹣23（舍去）或R=5， 则R=5；

（3）以EF为斜边，有两种情况，以EF为直角边，有四种情况，所以六种， 画直径FG，连接EG，延长EO与圆交于点D，连接DF，如图所示：

∵EF=5，直径ED=10，可得出∠FDE=30°， ∴FD=5，

则C△EFD=5+10+5=15+5， 由（2）可得C△COB=3+， ∴C△EFD：C△COB=（15+5）：（3+）=5：1． ∵EF=5，直径FG=10，可得出∠FGE=30°， ∴EG=5，

则C△EFG=5+10+5=15+5， ∴C△EFG：C△COB=（15+5）：（3+）=5：1． 15.（1）由题意得：A（4，0），C（0，4），对称轴为x=1．

设抛物线的解析式为y=ax2

+bx+c，则有：

，

解得．

∴抛物线的函数解析式为：y=﹣x2

+x+4．

（2）①当m=0时，直线l：y=x． ∵抛物线对称轴为x=1， ∴CP=1．

如答图1，延长HP交y轴于点M，则△OMH、△CMP均为等腰直角三角形．

∴CM=CP=1， ∴OM=OC+CM=5． S2

△OPH=S△OMH﹣S△OMP=（OM）﹣OM CP=×（

×5）2

﹣×5×1=

﹣=，

∴S△OPH=

．

②当m=﹣3时，直线l：y=x﹣3．

设直线l与x轴、y轴交于点G、点D，则G（3，0），D（0，﹣3）． 假设存在满足条件的点P．

a）当点P在OC边上时，如答图2﹣1所示，此时点E与点O重合． 设PE=a（0＜a≤4）， 则PD=3+a，PF=

PD=

（3+a）．

过点F作FN⊥y轴于点N，则FN=PN=PF，∴EN=|PN﹣PE|=|

PF﹣PE|．

在Rt△EFN中，由勾股定理得：EF==

．

若PE=PF，则：a=（3+a），解得a=3（+1）＞4，故此种情形不存在； 若PF=EF，则：PF=，整理得PE=PF，即a=3+a，不成立，故此种情形不存在；若PE=EF，则：PE=，整理得PF=

PE，即

（3+a）=

a，解得a=3．

∴P1（0，3）．

b）当点P在BC边上时，如答图2﹣2所示，此时PE=4．

若PE=PF，则点P为∠OGD的角平分线与BC的交点，有GE=GF，过点F分别作FH⊥PE于点H，FK⊥x轴于点K， ∵∠OGD=135°，

∴∠EPF=45°，即△PHF为等腰直角三角形， 设GE=GF=t，则GK=FK=EH=∴PH=HF=EK=EG+GK=t+∴PE=PH+EH=t+

t+

t，

t， t=4，

解得t=4﹣4， 则OE=3﹣t=7﹣4， ∴P2（7﹣4，4） c）∵A（4，0），B（2，4），

∴可求得直线AB解析式为：y=﹣2x+8； 联立y=﹣2x+8与y=x﹣3，解得x=设直线BA与直线l交于点K，则K（

，y=． ，）．

当点P在线段BK上时，如答图2﹣3所示． 设P（a，8﹣2a）（2≤a≤∴PE=8﹣2a，PQ=11﹣3a， ∴PF=

（11﹣3a）．

．

＜0，故此种情形不存在；

PF，即8﹣2a=

（11﹣3a），解得a=3，符合条件，

），则Q（a，a﹣3），

与a）同理，可求得：EF=若PE=PF，则8﹣2a=若PF=EF，则PF=此时P3（3，2）； 若PE=EF，则PE=此种情形不存在．

（11﹣3a），解得a=1﹣2

，整理得PE=

，整理得PF=PE，即（11﹣3a）=（8﹣2a），解得a=5＞，故

d）当点P在线段KA上时，如答图2﹣4所示． ∵PE、PF夹角为135°， ∴只可能是PE=PF成立． ∴点P在∠KGA的平分线上．

设此角平分线与y轴交于点M，过点M作MN⊥直线l于点N，则OM=MN，MD=MN， 由OD=OM+MD=3，可求得M（0，3﹣3）． 又因为G（3，0），

可求得直线MG的解析式为：y=（﹣1）x+3﹣3．

联立直线MG：y=（﹣1）x+3﹣3与直线AB：y=﹣2x+8， 可求得：P4（1+2，6﹣4）．

e）当点P在OA边上时，此时PE=0，等腰三角形不存在． 综上所述，存在满足条件的点P，点P坐标为：（0，3）、（3，2）、（7﹣4，4）、（1+2，6﹣4）．