人大版 微积分 第五章 分部积分法

赵树嫄

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链接目录第二章 极限与连续

第一章 函数

第三章 导数与微分第五章 不定积分 第七章 无穷级数(不要求) 第九章 微分方程

第四章 中值定理,导数的应用第六章 定积分 第八章 多元函数 复习

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参考书

[1]赵树嫄. 微积分. 中国人民出版社 [2]同济大学. 高等数学. 高等教育出版社

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第五章 分部积分法

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分部积分法前面我们在复合函数微分法的基 础上，得到了换元积分法。换元积分 法是积分的一种基本方法。本节我们 将介绍另一种基本积分方法——分部 积分法，它是两个函数乘积的微分法 则的逆转。

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一、基本内容问题

xe

x

dx ?

解决思路 利用两个函数乘积的求导法则.

设函数u u( x ) 和v v ( x )具有连续导数, v uv , uv u v , uv u uv

uv dx uv u vdx, udv uv vdu.分部积分公式

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注 分部积分公式的特点：等式两边 u,v 互换位置分部积分公式的作用：当左边的积分

udv容易求得

不易求得，而右边的积分

vdu

利用分部积分公式——化难为易 例1 求积分 x cos xdx .

1 2 解(一) 令 u cos x , xdx dx dv 2 2 2 x x x cos xdx 2 cos x 2 sin xdx u 显然， , v 选择不当，积分更难进行.

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解(二) 令 u x , cos xdx d sin x dv

x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx x sin x cos x C .分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v 一般来说， u,v 选取的原则是： (1)积分容易者选为v (2)求导简单者选为u 分部积分法的实质是：将所求积分化为两个积分 之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。

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x 2e x dx . 例2 求积分 解

u x2 ,

e x dx de x dv,

x 2e x dx x 2e x 2 xe x dx (再次使用分部积分法)u x , e x dx dv

x 2e x 2( xe x e x ) C .总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)

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例3

求积分 x arctan xdx .

x2 解 令 u arctan x , xdx d dv 22 2 x x x arctan xdx 2 arctan x 2 d (arctan x ) x2 x2 1 arctan x dx 2 2 2 1 x x2 1 1 arctan x (1 )dx 2 2 2 1 x x2 1 arctan x ( x arctan x ) C . 2 2

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例4

求积分 x ln xdx .

x4 3 解 u ln x , x dx d dv , 4 1 4 1 3 3 x ln xdx 4 x ln x 4 x dx 1 4 1 4 x ln x x C . 4 16总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂 函数和反三角函数的乘

积，就考虑设对数函 数或反三角函数为 u.这样使用一次分部积分 公式就可使被积函数降次、简化、代数化、 有理化。目的、宗旨只有一个：容易积分。

3

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例5 解

求积分 sin(ln x )dx .

sin(ln x)dx x sin(ln x ) xd[sin(ln x )]1 x sin(ln x ) x cos(ln x ) dx x x sin(ln x ) x cos(ln x ) xd[cos(ln x )]

x[sin(ln x ) cos(ln x )] sin(ln x )dx x sin(ln x)dx [sin(ln x ) cos(ln x )] C . 2 注：本题也可令 t ln x

分部积分过程中出现循环，实质上是得到待求积分 的代数方程，移项即可求得所求积分。注意最后一 定要加上积分常数C

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e x sin xdx . 例6 求积分 e x sin xdx sin xde x 解 e x sin x e x d (sin x ) e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x e x sin x (e x cos x e x d cos x ) e (sin x cos x ) e sin xdx 注意循环形式x x

e e sin xdx (sin x cos x ) C . 2x

x

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sec3 xdx 例7 sec 3 xdx sec xd tan x 解 sec x tan x tan 2 x sec xdx sec x tan x sec xdx sec 3 xdx sec x tan x ln(sec x tan x ) sec 3 xdx

1 1 sec xdx sec x tan x ln(sec x tan x ) C 2 23

例8

sinn xdx ( n N )

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解

sin n xdx sin n 1 xd cos x sin n 1 x cos x cos 2 x ( n 1) sin n 2 xdx sin n 1 x cos x ( n 1) sin n 2 xdx ( n 1) sin n xdx

1 n 1 n 1 sin xdx sin x cos x sinn 2 xdx n n 若设 I n sin n xdx 则上述计算公式可表为n

1 n 1 n 1 I n sin x cos x I n 2 n n

——递推公式

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反复使用递推公式，最后归结为求 sin x的一次幂或零次幂的不定积分 x arctan e dx 例9 x e 解一 令 u exx

arctan u 1 arctan e e x dx u u du 1 arctan ud ( ) u 1 1 1 arctan u 2 du u u 1 u